Qual o erro máximo cometido na aproximação de I=integral0^4(3 x^3+3 x+1) d x pela regra de Simpson com quatro subintervalos? Calcule I pela regra dos trapézios e compare os resultados.

Passo 1

O que a gente tem aqui?
– Integral a avaliar:
I=integral0^4l(3x^3+3x+1r),dx
– Tema: métodos de quadratura (Regra de Simpson e Regra dos Trapézios) e estimativa de erro.
– O que vamos precisar:
  1. Derivar até a 4ª para usar a fórmula do erro de Simpson.
  2. Fórmulas das regras de Simpson e dos Trapézios.
  3. Calcular valor exato da integral (pra comparar).

Passo 2

Calculando o valor exato da integral (pra sabermos o “verdadeiro” I):
integrall(3x^3+3x+1r)dx =34x^4+32x^2+x+C
Avalia de 0 a 4:
I=l[tfrac34,4^4+tfrac32,4^2+4r] =192+24+4=220

Passo 3

Erro máximo na regra de Simpson com |ES|<= b-a180,h^4max[0,4]|f^(4)(x)| :
– Comprimento do intervalo: f'(x)=9x^2+3, f''(x)=18x, f'''(x)=18, f''''(x)=0 .
– Passo: |ES|<=4180cdot1^4cdot0=0 .
– Fórmula do erro de Simpson (Newton–Cotes de grau 3):
Derivadas de :
Logo , daí
O erro máximo é zero (Simpson é exato para polinômios de grau ≤3).

Passo 4

Confirmação: aproximação por Simpson ( S4=h3l[f(0)+4f(1)+2f(2)+4f(3)+f(4)r] , f(0)=1,;f(1)=7,;f(2)=31,;f(3)=91,;f(4)=205, )
S4=tfrac13l[1+4cdot7+2cdot31+4cdot91+205r] =tfrac13cdot660=220,
Calculando:
exatamente o valor real.

Passo 5

Aproximação pela regra dos Trapézios ( T4=h2l[f(0)+2l(f(1)+f(2)+f(3)r)+f(4)r] , T4=tfrac12l[1+2(7+31+91)+205r] =tfrac12cdot464=232 ):

Resposta

Erro máximo na Regra de Simpson (4 subintervalos): 0.
Aproximação de Simpson: 220 (exato).
Aproximação de Trapézios: 232 (fica 12 unidades acima do valor exato 220).

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