Qual o erro máximo cometido na aproximação de
pela regra de Simpson com quatro subintervalos? Calcule I pela regra dos trapézios e compare os resultados.
Passo 1
O que a gente tem aqui?
– Integral a avaliar:
– Integral a avaliar:
– Tema: métodos de quadratura (Regra de Simpson e Regra dos Trapézios) e estimativa de erro.
– O que vamos precisar:
– O que vamos precisar:
- Derivar
até a 4ª para usar a fórmula do erro de Simpson. - Fórmulas das regras de Simpson e dos Trapézios.
- Calcular valor exato da integral (pra comparar).
Passo 2
Calculando o valor exato da integral (pra sabermos o “verdadeiro” I):
Avalia de 0 a 4:
Passo 3
Erro máximo na regra de Simpson com
:
– Comprimento do intervalo: .
– Passo: .
– Fórmula do erro de Simpson (Newton–Cotes de grau 3):
– Comprimento do intervalo:
– Passo:
– Fórmula do erro de Simpson (Newton–Cotes de grau 3):
Derivadas de
:
Logo
, daí
O erro máximo é zero (Simpson é exato para polinômios de grau ≤3).
Passo 4
Confirmação: aproximação por Simpson (
,
)
Calculando:
exatamente o valor real.
Passo 5
Aproximação pela regra dos Trapézios (
,
):
Resposta
Erro máximo na Regra de Simpson (4 subintervalos): 0.
Aproximação de Simpson: 220 (exato).
Aproximação de Trapézios: 232 (fica 12 unidades acima do valor exato 220).
Aproximação de Simpson: 220 (exato).
Aproximação de Trapézios: 232 (fica 12 unidades acima do valor exato 220).