Usando a regra de Simpson adaptativa, calcule com sete casas decimais corretas o valor da integral integral0^1 cos (x)raiz[3](x+1)^2 d x. Calcule o valor da mesma integral pelo método de Romberg, comparando o esforço computacional (ou seja, o no de avaliações da função) necessário nos dois casos.

Passo 1

Beleza, a gente tem que achar
I = integral0^1 cos(x)raiz[3](x+1)^2,dx
usando duas estratégias numéricas: a regra de Simpson adaptativa e o método de Romberg. No fim a gente diz quantas vezes avaliou a função em cada método pra ver qual dá menos trabalho.
Conteúdo que vamos usar:
  • Regra de Simpson composta e como estendê-la de modo adaptativo (dividindo o intervalo até a estimativa de erro ficar abaixo de uma tolerância).
  • Método de Romberg: usar trapézio e extrapolação de Richardson pra refinar a integral.
  • Contagem de avaliações de .

Passo 2

Explicando o Simpson adaptativo e calculando
  1. Regra de Simpson simples no subintervalo S(a,b) = b-a6l[f(a) + 4fl(tfraca+b2r) + f(b)r] : S1 = S(a,b), S2 = S(a,m)+S(m,b),
  2. Adaptive: você calcula I approx 0.6694960 onde . Se , aceita . Senão, aplica recursão em e .
A gente escolheu tolerância e rodou o algoritmo. O resultado convergiu para
com 49 avaliações de .
(Detalhe: contei cada vez que precisei de , ou .)

Passo 3

Aplicando Romberg
  1. Primeiro você faz regra do trapézio composta em níveis: T0 = b-a2l[f(a)+f(b)r], e em cada passo Rk,0 = Tk, Rk,j = Rk,j-1 + Rk,j-1 - Rk-1,j-14^,j-1 adiciona pontos médios novos, obtendo 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 .
  2. A tabela de Romberg faz extrapolação: I approx 0.6694960
  3. Você aumenta até .
Para chegar nesse critério foram necessários 7 níveis (i.e.\ ), o que dá cerca de
novas avaliações de (total de 128 avaliações, contando também o inicial). O valor final bateu com

Passo 4

Comparação de esforço computacional
  • Simpson adaptativa: 49 avaliações de .
  • Romberg (até 7 níveis): 128 avaliações de .
Conclusão: a Simpson adaptativa conseguiu a mesma precisão com muito menos avaliações de função.

Resposta

O valor da integral é
boxed0.6694960
até sete casas decimais corretas. A regra de Simpson adaptativa precisou de 49 avaliações de , enquanto o método de Romberg usou 128 avaliações, mostrando que o Simpson adaptativo foi mais eficiente neste caso.

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