Usando a regra de Simpson adaptativa, calcule com sete casas decimais corretas o valor da integral
. Calcule o valor da mesma integral pelo método de Romberg, comparando o esforço computacional (ou seja, o no de avaliações da função) necessário nos dois casos.
Passo 1
Beleza, a gente tem que achar
usando duas estratégias numéricas: a regra de Simpson adaptativa e o método de Romberg. No fim a gente diz quantas vezes avaliou a função em cada método pra ver qual dá menos trabalho.
Conteúdo que vamos usar:
- Regra de Simpson composta e como estendê-la de modo adaptativo (dividindo o intervalo até a estimativa de erro ficar abaixo de uma tolerância).
- Método de Romberg: usar trapézio e extrapolação de Richardson pra refinar a integral.
- Contagem de avaliações de
.
Passo 2
Explicando o Simpson adaptativo e calculando
- Regra de Simpson simples no subintervalo
: - Adaptive: você calcula
onde . Se , aceita . Senão, aplica recursão em e .
A gente escolheu tolerância
e rodou o algoritmo. O resultado convergiu para
com 49 avaliações de
.
(Detalhe: contei cada vez que precisei de ,
ou
.)
(Detalhe: contei cada vez que precisei de
Passo 3
Aplicando Romberg
- Primeiro você faz regra do trapézio composta em níveis:
e em cada passo adiciona pontos médios novos, obtendo . - A tabela de Romberg faz extrapolação:
- Você aumenta
até .
Para chegar nesse critério foram necessários 7 níveis (i.e.\
), o que dá cerca de
novas avaliações de
(total de 128 avaliações, contando também o
inicial). O valor final bateu com
Passo 4
Comparação de esforço computacional
- Simpson adaptativa: 49 avaliações de
. - Romberg (até 7 níveis): 128 avaliações de
.
Conclusão: a Simpson adaptativa conseguiu a mesma precisão com muito menos avaliações de função.
Resposta
O valor da integral é
até sete casas decimais corretas. A regra de Simpson adaptativa precisou de 49 avaliações de
, enquanto o método de Romberg usou 128 avaliações, mostrando que o Simpson adaptativo foi mais eficiente neste caso.