Calcule integral2^3 d x1+raizx usando a quadratura gaussiana de 4 pontos.

Passo 1

Beleza, a gente quer calcular
integral2^3dx1+raizx
usando quadratura gaussiana de 4 pontos. Isso significa que:
  • Primeiro a gente transforma o intervalo integrala^b f(x),dx approx b-a2sumi=1^n wi,f!l(a+b2 + b-a2tir) em .
  • Depois usa 4 “nós” (nodes) e 4 “pesos” (weights) bem conhecidos da Gauss–Legendre.
  • Finalmente faz a soma ponderada e adiciona o fator do mapeamento.
Os conteúdos-chave aqui são mudança de variável para , tabela de nós e pesos do método de Gauss e a fórmula

Passo 2

Fazendo a mudança de variável
x = b+a2 + b-a2,t, a=2,;b=3,
então
x = 2.5 + 0.5,t, dx = b-a2,dt = 0.5,dt
A integral vira
integral2^3dx1+raizx = integral-1^10.5,dt1+raiz,2.5 + 0.5,t,

Passo 3

Para t1&=-0.8611363116,&;w1&=0.3478548451, t2&=-0.3399810436,&;w2&=0.6521451549, t3&=+0.3399810436,&;w3&=0.6521451549, t4&=+0.8611363116,&;w4&=0.3478548451 , os nós e pesos (Gauss–Legendre) são:

Passo 4

Calcular os pontos em xi = 2.5 + 0.5,ti :
x1&=2.5 + 0.5cdot(-0.8611)approx2.0694, x2&=2.5 + 0.5cdot(-0.3399)approx2.3300, x3&=2.5 + 0.5cdot(+0.3399)approx2.6700, x4&=2.5 + 0.5cdot(+0.8611)approx2.9306
Isso dá, aproximando:

Passo 5

Avaliar f(x1)&=11+raiz2.0694approx0.4105, f(x2)&=11+raiz2.3300approx0.3958, f(x3)&=11+raiz2.6700approx0.3795, f(x4)&=11+raiz2.9306approx0.3687 em cada :

Passo 6

Agora montamos a soma da quadratura:
S = sumi=1^4 wi,f(xi) =0.34785cdot0.4105 + 0.65215cdot0.3958 +0.65215cdot0.3795 + 0.34785cdot0.3687 approx0.7768
E a integral aproximada é
integral2^3dx1+raizx approx b-a2;S =0.5times0.7768 approx0.3884

Resposta

boxed0.3884 (aproximadamente)

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