Calcule a integral.
integral1^2 integralpi2^pi x cos (x y) d x d y.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular a integral dupla
integraly=1^2integralx=pi/2^pi xcos(xy),dx,dy
Isso faz parte de Cálculo de várias variáveis (integrais duplas) e vamos usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e, depois, calcular integrais simples de seno e cosseno.

Passo 2

Segundo o Teorema de Fubini, se a função for contínua num retângulo (que é o nosso caso: integral1^2l(integralpi/2^pi xcos(xy),dxr)dy ;=; integralpi/2^pil(integral1^2 xcos(xy),dyr)dx , ), podemos trocar a ordem das integrais:
Isso simplifica porque, ao integrar em primeiro, é tratado como constante.

Passo 3

Vamos calcular
integral1^2 xcos(xy),dy
Como integral cos(xy),dy = 1xsin(xy), é constante aqui, faço
integral1^2 xcos(xy),dy = xcdot1xl[sin(xy)r]y=1^2 = sin(2x)-sin(x)
logo

Passo 4

Agora o integral vira
integralpi/2^pil(sin(2x)-sin(x)r),dx =integralpi/2^pisin(2x),dx ;-;integralpi/2^pisin(x),dx
Calculo cada um:
  1. , então
  2. , então
Subtraindo dá .

Resposta

Exercícios relacionados