Calcule a integral.
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra calcular a integral dupla
Isso faz parte de Cálculo de várias variáveis (integrais duplas) e vamos usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e, depois, calcular integrais simples de seno e cosseno.
Passo 2
Segundo o Teorema de Fubini, se a função for contínua num retângulo (que é o nosso caso:
,
), podemos trocar a ordem das integrais:
Isso simplifica porque, ao integrar em
primeiro,
é tratado como constante.
Passo 3
Vamos calcular
Como
é constante aqui, faço
logo
Passo 4
Agora o integral vira
Calculo cada um:
-
, então
-
, então
Subtraindo dá
.