Calcule a integral.
integral1^3(x^x+2 x-4) d x

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que calcular a integral definida
integral1^3l(x^x + 2x - 4r),dx
Isso é parte de Cálculo sobre integrais definidas. Vamos usar duas ideias principais:
  1. A propriedade de linearidade da integral (podemos separar a soma em somas de integrais).
  2. Para , que não tem antiderivada em forma fechada, a gente vai fazer uma aproximação numérica com a Regra de Simpson.

Passo 2

Primeiro separamos pela linearidade:
integral1^3l(x^x + 2x - 4r),dx = integral1^3x^x,dx ;+;integral1^32x,dx ;-;integral1^34,dx

Passo 3

Agora calculamos as duas integrais fáceis (as do polinômio):
  1. integral1^32x,dx = l[x^2r]1^3 = 3^2 -1^2 = 9-1 =8 .
    Então integral1^34,dx = l[4xr]1^3 = 4cdot3 -4cdot1 =12-4 =8
  2. .
    Logo
Repare que . Então toda a parte some direitinho.

Passo 4

Sobrou
integral1^3x^x,dx
Como não existe uma antiderivada “bonitinha” para integrala^bf(x),dx approx h3l[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + cdots +4f(xn-1) + f(xn)r], , a gente usa a Regra de Simpson (um método de aproximação numérica).
Regra de Simpson (para par):
onde e .

Passo 5

Escolhendo f(1) &= 1^1 =1, f(1.5) &= 1.5^1.5approx 1.8371, f(2) &= 2^2 =4, f(2.5) &= 2.5^2.5approx 9.8819, f(3) &= 3^3 =27 (4 subintervalos) de integral1^3x^x,dx approx 0.53l[,f(1)+4f(1.5)+2f(2)+4f(2.5)+f(3)r] a 0.53l[1 + 4cdot1.8371 + 2cdot4 + 4cdot9.8819 + 27r] = 0.53times 82.876 approx 13.8127 :
  • .
  • Nós avaliamos em
    .
    Vamos anotar:
Aplicando Simpson:
Substituindo:

Passo 6

Como a parte integral1^3l(x^x + 2x -4r),dx approx 13.8127 deu zero, o resultado final é só essa aproximação:

Resposta

boxed13.8127 (aproximadamente)

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