c 3 x1+x2+1.05 x3-4 x4=-5.7125 -2 x2+3 x3-1.5 x4=-3.25 x1+x2-0.5 x3=0.125 -2 x1-5 x2+3.05 x3+x4=-3.7125

Passo 1

Beleza, o exercício é resolver o sistema linear
3x1+x2+1.05x3-4x4=-5.7125, -2x2+3x3-1.5x4=-3.25, x1+x2-0.5x3=0.125, -2x1-5x2+3.05x3+x4=-3.7125
Conteúdo: eliminação de Gauss (ou Gauss–Jordan). A ideia é usar operações elementares em linhas (trocar linha, multiplicar por escalar, somar linhas) pra zerar variáveis passo a passo e depois achar .

Passo 2

Primeiro, a gente põe a equação que já tem coeficiente 1 em (L1) &x1+x2-tfrac12x3=0.125, (L2) &-2x2+3x3-1.5x4=-3.25, (L3) &3x1+x2+1.05x3-4x4=-5.7125, (L4) &-2x1-5x2+3.05x3+x4=-3.7125 como pivô na primeira linha. Vamos trocar a linha 1 com a 3:
(L1);x1+x2-tfrac12x3=0.125, (L2);-2x2+3x3-1.5x4=-3.25, (L3);-2x2+2.55x3-4x4=-6.0875, (L4);-3x2+2.05x3+x4=-3.4625
Agora zeramos em L3 e L4 usando L1:
  • L3 L3 L1,
  • L4 L4 L1.
Depois dessas operações, o sistema vira

Passo 3

Agora escolhemos L2 como pivô para x2-tfrac32x3+tfrac34x4=1.625 (coeficiente (L1');x1+x3-tfrac34x4=-tfrac32, (L2');x2-tfrac32x3+tfrac34x4=1.625, (L3');-0.45x3-2.5x4=-2.8375, (L4');-2.45x3+3.25x4=1.4125 ). Queremos zerar em L1, L3, L4.
  1. Dividimos L2 por pra ficar com coeficiente 1 em :
  2. Usamos essa L2 nova em:
    • L1 L1 (essa L2),
    • L3 L3 (L2 original sem divisão ),
    • L4 L4 (3/–2 vezes L2 original),
      pra zerar o .
O sistema fica

Passo 4

Agora eliminamos (L4'');A,x4=B, em L1’ e L2’, usando L3’ com pivô em x4=1 ( ).
  1. Dividimos L3’ por pra ter em .
  2. Zeramos em L1’, L2’, L4’.
Em particular, L4’ vai virar algo tipo
e descobrimos que , logo

Passo 5

Com -0.45,x3-2.5cdot1=-2.8375 Longrightarrow x3=0.75 em mãos, voltamos em L3’ (ou na forma original da linha) pra achar x1+x3-tfrac34cdot1=-tfrac32 Longrightarrow x1=-1.5 . Dá
x2-tfrac32cdot0.75+tfrac34cdot1=1.625 Longrightarrow x2=2
Depois, plugamos em L1’ pra achar :
E, finalmente, em L2’ pra :

Resposta

(x1,x2,x3,x4) = (-1.5,;2,;0.75,;1)

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