Calcule a integral, interpretando-a em termos de áreas.
integral-2^5(10-5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-2^5(10-5x),dx
interpretando isso em termos de área.
Conteúdo: Cálculo de integrais definidas e interpretação geométrica (áreas sob/sobre o eixo ).
Para resolver você vai precisar:
  • Saber que é a “área” entre a curva e o eixo , contando áreas abaixo do eixo como negativas.
  • Conseguir achar onde a função muda de sinal (cruza o eixo ).
  • Calcular áreas de triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto em que 10-5x=0Longrightarrow x=2 :
integral-2^5(10-5x),dx =integral-2^2(10-5x),dx;+;integral2^5(10-5x),dx
Isso diz que, para , (a curva fica acima do eixo) e, para , (fica abaixo do eixo). Vamos dividir a integral em duas partes:

Passo 3

Na parte de Apos=basetimesa a , a função é positiva, e a figura é um triângulo com:
  • base
  • altura .
    Área dessa parte:

Passo 4

Na parte de Aneg=3cdot152=22,5 a , a função é negativa, e a figura é outro triângulo “abaixo” do eixo:
  • base
  • altura (em módulo) .
    Área dessa parte (que vai entrar como negativa na integral):

Passo 5

A integral definida é a área positiva menos a área negativa:
integral-2^5(10-5x),dx = Apos-Aneg =40-22,5=17,5

Resposta

boxed352

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