Considere a função abaixo
x 0.6 0.9 1.1 1.3
f(x) 1.3671 1.5028 1.5748 1.6375
Encontre um ajuste para a função com o método dos mínimos quadrados.
b) Usando a função varphi(x)=(c1 x+c2 cos (x))

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão pede. A gente tem quatro pontos
x: 0.6, 0.9, 1.1, 1.3
f(x): 1.3671, 1.5028, 1.5748, 1.6375
E queremos ajustar esses dados a uma função

usando o método dos mínimos quadrados.
Ou seja, vamos achar os coeficientes e que minimizam a soma dos quadrados dos erros
.
Conteúdo que vamos usar:
  • Conceito de soma de quadrados de resíduos.
  • Montagem das equações normais (derivadas parciais igual a zero).
  • Álgebra linear (resolver um sistema 2×2).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a soma de quadrados que queremos minimizar:
S(c1,c2) =sumi=1^4l(c1 xi + c2cos(xi) - yir)^2,
onde partial Spartial c1=0 e partial Spartial c2=0 .
Para achar o mínimo, a gente impõe
Isso gera as chamadas equações normais.

Passo 3

Vamos derivar e organizar:
  1. c1sum xi^2 ;+; c2sum xicos xi ;=;sum xi yi, c1sum xicos xi + c2sum cos^2 xi ;=;sum yicos xi .
  2. .
Tirando o 2 e distribuindo, obtemos o sistema linear

Passo 4

Vamos calcular todos os somatórios (aprox. até 4 casas):
Para cada sum xi^2 &=0.6^2+0.9^2+1.1^2+1.3^2=4.0700, sum xicos xi &=0.6cdot0.8253+0.9cdot0.6216+1.1cdot0.4536+1.3cdot0.2672 approx1.9011, sum cos^2 xi &=0.8253^2+0.6216^2+0.4536^2+0.2672^2 approx1.3447, sum xi yi &=0.6cdot1.3671+0.9cdot1.5028+1.1cdot1.5748+1.3cdot1.6375 approx6.0338, sum cos xi,yi &=0.8253cdot1.3671+0.6216cdot1.5028+0.4536cdot1.5748+0.2672cdot1.6375 approx3.2138 :
x_i: 0.6, 0.9, 1.1, 1.3
4.0700 & 1.9011 1.9011 & 1.3447 c1c2 = 6.03383.2138 : 0.8253, 0.6216, 0.4536, 0.2672
y_i: 1.3671, 1.5028, 1.5748, 1.6375
Agora:

Então o sistema fica
[

.
]

Passo 5

É só resolver o 2×2. A gente faz
c1=6.0338cdot1.3447 - 1.9011cdot3.2138De,

Resposta

O ajuste por mínimos quadrados é
boxedvarphi(x)=1.082,x;+;0.860,cos(x)

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