Considere a função abaixo
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0.6 | 0.9 | 1.1 | 1.3 |
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1.3671 | 1.5028 | 1.5748 | 1.6375 |
Encontre um ajuste para a função com o método dos mínimos quadrados.
b) Usando a função
b) Usando a função
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão pede. A gente tem quatro pontos
x: 0.6, 0.9, 1.1, 1.3
f(x): 1.3671, 1.5028, 1.5748, 1.6375
x: 0.6, 0.9, 1.1, 1.3
f(x): 1.3671, 1.5028, 1.5748, 1.6375
E queremos ajustar esses dados a uma função
usando o método dos mínimos quadrados.
Ou seja, vamos achar os coeficientes e
que minimizam a soma dos quadrados dos erros
.
usando o método dos mínimos quadrados.
Ou seja, vamos achar os coeficientes
Conteúdo que vamos usar:
- Conceito de soma de quadrados de resíduos.
- Montagem das equações normais (derivadas parciais igual a zero).
- Álgebra linear (resolver um sistema 2×2).
Passo 2
Primeiro, escrevemos a soma de quadrados que queremos minimizar:
onde
.
Para achar o mínimo, a gente impõe
Isso gera as chamadas equações normais.
Passo 3
Vamos derivar e organizar:
-
. -
.
Tirando o 2 e distribuindo, obtemos o sistema linear
Passo 4
Vamos calcular todos os somatórios (aprox. até 4 casas):
Para cada
:
x_i: 0.6, 0.9, 1.1, 1.3
: 0.8253, 0.6216, 0.4536, 0.2672
y_i: 1.3671, 1.5028, 1.5748, 1.6375
x_i: 0.6, 0.9, 1.1, 1.3
y_i: 1.3671, 1.5028, 1.5748, 1.6375
Agora:
Então o sistema fica
[
]
Passo 5
É só resolver o 2×2. A gente faz
,
Resposta
O ajuste por mínimos quadrados é