Dada a função tabelada
x -6 -4 -2 1 2
f(x) 10 9 6 5 4
Ajuste os dados com uma função do tipo f(x) approx a(b)^x. Estime o valor de f(1.5).

Passo 1

Beleza, mano! O enunciado diz que a gente tem uma tabela de valores de f(x)approx a,b^x em função de :
x:
:
A matéria aqui é “Ajuste de dados por função exponencial” do tipo
Para resolver, vamos precisar:
  1. Linearizar tomando log natural em ambos os lados;
  2. Aplicar regressão linear (método dos mínimos quadrados) na forma
    ;
  3. Encontrar e , daí e ;
  4. Estimar no modelo ajustado.

Passo 2

Primeiro a gente lineariza. Se
f(x)approx a,b^x,
tomamos ln:
ln f(x)=ln(a,b^x)=ln a + x,ln b
Então definimos Y = A + B,X, e . Aí viramos um problema de reta:
sendo e .

Passo 3

Precisamos computar, para os 5 pontos, as somas
Sx=sum xi, Sy=sum Yi, Sxx=sum xi^2, Sxy=sum xi,Yi,
onde Sx &= -6 + (-4)+(-2)+1+2 = -9, Sy &= 2,3026+2,1972+1,7918+1,6094+1,3863 approx 9,2873, Sxx&=36+16+4+1+4 = 61, Sxy&=(-6)(2,3026)+(-4)(2,1972)+(-2)(1,7918)+(1)(1,6094)+(2)(1,3863) approx -21,8060 . Vamos aos valores aproximados:
x_i:
:
:

Então

Passo 4

Usamos as fórmulas da regressão linear:
B = ln b = n,Sxy - Sx,Syn,Sxx - Sx^2, A = ln a = Sy - B,Sxn,
com ln b = 5cdot(-21,8060) - (-9)cdot9,28735cdot61 - (-9)^2 approx -0,11366, . Substituindo:
ln a = 9,2873 - (-0,11366),(-9)5 approx1,65288

Passo 5

Transformando de volta:
b = e^-0.11366approx0,8926, a = e^1.65288approx5,222
Logo o modelo ajustado é
f(x)approx 5,222,(0,8926)^x

Passo 6

Agora estimamos f(1.5)approx 5,222,(0,8926)^1.5 =5,222;e^1.5ln(0.8926) approx5,222;e^-0.1705 approx5,222cdot0,8433 approx4,40 :

Resposta

.

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