Calcule a integral, interpretando-a em termos de áreas.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral
interpretando-a em termos de áreas. Isso é tema de Cálculo I, envolvendo duas ideias principais:
- A linearidade da integral (
) e a interpretação de como área de retângulo. - A primitiva de
, que aparece na parte . Para ela usamos a fórmula
Vamos usar essas ideias passo a passo para não pular nada.
Passo 2
Separemos a integral em duas:
[
\int_{-3}{1}\bigl(1+\sqrt{9-x{2}}\bigr),dx
\underbrace{\int_{-3}^{1}1,dx}{I_1}
;+;
\underbrace{\int{-3}{1}\sqrt{9-x{2}},dx}_{I_2}.
]
;+;
\underbrace{\int{-3}{1}\sqrt{9-x{2}},dx}_{I_2}.
]
É só usar
.
Passo 3
Calcular
.
Integral de 1 é , então
Integral de 1 é
Geometricamente, é a área de um retângulo de base
e altura 1.
Passo 4
Agora
.
Como dissemos, a primitiva é
Como dissemos, a primitiva é
Isso vem da fórmula com
.
Passo 5
Avaliaremos
de
até
:
- Em
:
- Em
:
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Passo 6
Somamos
e
: