Calcule a integral, interpretando-a em termos de áreas.
integral-3^1(1+raiz9-x^2) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral
integral-3^1l(1+raiz9-x^2r),dx
interpretando-a em termos de áreas. Isso é tema de Cálculo I, envolvendo duas ideias principais:
  1. A linearidade da integral ( integralraiza^2-x^2,dx =x2raiza^2-x^2+a^22arcsin!l(tfracxar)+C ) e a interpretação de como área de retângulo.
  2. A primitiva de , que aparece na parte . Para ela usamos a fórmula
Vamos usar essas ideias passo a passo para não pular nada.

Passo 2

Separemos a integral em duas:
[
\int_{-3}{1}\bigl(1+\sqrt{9-x{2}}\bigr),dx

\underbrace{\int_{-3}^{1}1,dx}{I_1}
;+;
\underbrace{\int
{-3}{1}\sqrt{9-x{2}},dx}_{I_2}.
]
É só usar integral-3^1l(1+raiz9-x^2r),dx = underbraceintegral-3^11,dxI1 ;+; underbraceintegral-3^1raiz9-x^2,dxI2 .

Passo 3

Calcular I1 = l[xr]-3^1 =1-(-3) =4 .
Integral de 1 é , então
Geometricamente, é a área de um retângulo de base e altura 1.

Passo 4

Agora F(x) =x2raiz9-x^2 +92,arcsin!l(tfracx3r) .
Como dissemos, a primitiva é
Isso vem da fórmula com .

Passo 5

Avaliaremos F(1) =12raiz9-1^2 +92arcsin!l(tfrac13r) =12raiz8 +92arcsin!l(tfrac13r) =raiz2 +92arcsin!l(tfrac13r) de F(-3) =-32raiz9-(-3)^2 +92arcsin!l(tfrac-33r) =0 +92arcsin(-1) =-92,pi2 =-9pi4 até I2 =F(1)-F(-3) =l(raiz2+tfrac92arcsintfrac13r) - l(-tfrac9pi4r) =raiz2 +92arcsin!l(tfrac13r) +9pi4 :
  1. Em :
  1. Em :
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Passo 6

Somamos integral-3^1l(1+raiz9-x^2r),dx =I1+I2 =4 +l(raiz2+tfrac92arcsintfrac13+tfrac9pi4r) e :

Resposta

boxed4+raiz2 ;+;92,arcsin!l(tfrac13r);+;9pi4

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