Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^1 integral0^2-x^2-x^2 x y e^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular a integral tripla iterada
integralx=0^1!integraly=0^1!integralz=0^2 - x^2 - y^2 x,y,e^2 ;dz,dy,dx
Isso é conteúdo de integrais múltiplas ou integrais iteradas. Para resolver, vamos lembrar:
  1. Integração iterada significa que a gente integra em relação a primeiro (pois é o integral mais interno), depois em e por fim em .
  2. Se a função que estamos integrando não depende da variável atual, ela pode sair da integral como constante.
  3. Integrais de polinômios são fáceis: .

Passo 2

Integrando em integral0^2 - x^2 - y^2 x,y,e^2 ;dz (primeiro integral):
x,y,e^2 integral0^2 - x^2 - y^2 dz = x,y,e^2 l[zr]0^2 - x^2 - y^2 = x,y,e^2,(2 - x^2 - y^2)
Aqui não depende de , então sai da integral:

Passo 3

Agora integramos em integral0^1 x,y,e^2,(2 - x^2 - y^2);dy :
x,e^2integral0^1 l(2y - x^2 y - y^3r),dy
Colocando integral0^1 (2y - x^2 y - y^3),dy = l[y^2 - tfracx^2 y^22 - tfracy^44r]0^1 = 1 - tfracx^22 - tfrac14 = tfrac34 - tfracx^22 fora (pois são constantes em relação a x,e^2l(tfrac34 - tfracx^22r) = e^2l(tfrac34x - tfracx^32r) ):
Vamos integrar termo a termo:
  • ,
  • ,
  • .
    Logo, de a :
Então o resultado desse passo é

Passo 4

Por fim, integramos em integral0^1 e^2l(tfrac34x - tfracx^32r),dx = e^2!integral0^1l(tfrac34x - tfracx^32r),dx de l[tfrac3x^28 - tfracx^48r]0^1 = tfrac38 - tfrac18 = tfrac28 = tfrac14 a e^2 times tfrac14 = tfrace^24 :
Integramos:
  • ,
  • .
    De a :
Multiplicando por :

Resposta

boxede^24

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