Calcule a integral iterada.
integral0^pi / 2 integral0^2 x integral0^x+z cos (x-2 y+z) d y d z d x

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é uma integral tripla iterada
integralx=0^pi/2!integralz=0^2x!integraly=0^x+zcosl(x-2y+zr),dy,dz,dx
O que a gente precisa saber:
  1. Como fazer integração iterada (resolve primeiro em , depois em e por fim em ).
  2. Como usar substituição simples (u-substituição) pra integrar uma função tipo .
A ideia é ir passo a passo, sem pular nada. Bora lá!

Passo 2

Integrando em I1 = integraly=0^x+zcosl(x-2y+zr),dy :
u = x - 2y + z Longrightarrow dudy = -2 Longrightarrow dy = -tfrac12,du
Teoria: pra integrar I1 = integralu=x+z^,u=-x-z cos(u),l(-tfrac12,dur) = tfrac12integralu=-x-z^,u=x+zcos(u),du = tfrac12l[sin(u)r]-x-z^,x+z = tfrac12l(sin(x+z)-sin(-x-z)r) quando I1 = tfrac12l(sin(x+z)+sin(x+z)r) = sin(x+z) é função de , a gente faz -substituição.
Defina
Quando , .
Quando , .
Então
Como , isso vira

Passo 3

Agora nossa integral fica
I2 = integralx=0^pi/2!integralz=0^2xsin(x+z),dz,dx
Primeiro integra em integralz=0^2xsin(x+z),dz :
integral0^2xsin(x+z),dz = l[-cos(x+z)r]0^2x = -cos(3x)+cos(x) = cos(x)-cos(3x)
Teoria: vezes a derivada interna (aqui é 1). Logo

Passo 4

Falta só integrar em I = integral0^pi/2l(cos x - cos 3xr),dx :
integralcos x,dx = sin x, integralcos3x,dx = tfrac13sin3x
Teoria:
I = l[sin x - tfrac13sin(3x)r]0^pi/2 = l(sin(tfracpi2)-tfrac13sin(tfrac3pi2)r) - (0 - 0) . Então
I = 1 - tfrac13cdot(-1) = 1 + tfrac13 = tfrac43
Assim
Sabendo que e , vem

Resposta

.

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