Calcule a integral iterada.
integral1^3 integral-1^2 integral-1^z zy d x d z d y

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente calcular essa integral iterada
integraly=1^3 integralz=-1^2 integralx=-1^z zy,dx,dz,dy
O conteúdo aqui é integração múltipla (mais especificamente uma integral tripla feita por partes). A ideia é usar o Teorema de Fubini: a gente integra uma variável de cada vez, mantendo as outras fixas.
Pra resolver, vamos precisar:
  1. Reconhecer que é constante quando integramos em .
  2. Usar a regra de potência para integrar em .
  3. Usar a integral de (que dá ) para a parte em .

Passo 2

Integramos primeiro em integralx=-1^z zy,dx = zy ,l[xr]-1^z = zy,(z - (-1)) = zy,(z+1) , de até . Como não depende de , temos

Passo 3

Agora integramos em integralz=-1^2 z,(z+1)y,dz = 1yintegral-1^2(z^2 + z),dz , de integral-1^2(z^2+z),dz =l[tfracz^33+tfracz^22r]-1^2 =l(tfrac83+2r)-l(-tfrac13+tfrac12r) =l(tfrac83+tfrac63r)-l(-tfrac26+tfrac36r) =tfrac143-tfrac16 =tfrac276 =tfrac92 até 1y,92 =92y :
Usando a regra de potência:
e .
Então
Logo, a parte em vira

Passo 4

Falta só integrar em integral1^392y,dy =92integral1^31y,dy =92l[ln yr]1^3 =92(ln 3 - ln 1) =92ln 3, , de a :
já que .

Resposta

boxed92,ln 3

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