Calcule a integral iterada.
integral1^2 integral0^2 x integral0^x x e^-y d z d y d x

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para calcular a integral tripla iterada
integralx=1^2integraly=0^2xintegralz=0^x x,e^-y;dz;dy;dx
Aqui o conteúdo é cálculo de integrais iteradas (ou integrais múltiplas) e vamos usar também integração por partes quando chegarmos na parte de integrar algo tipo x^2e^-2x. Em resumo, a estratégia é:
1) Integrar em z (já que x,e^-y não depende de z).
2) Integrar em y.
3) Integrar em x, quebrando em duas partes e usando partes para a que tiver e^-2x.

Passo 2

Integramos primeiro em z. Como a função x,e^-y não depende de z, vale:
integralz=0^x x,e^-y;dz = x,e^-y,l[zr]0^x = x,e^-y,(x-0) = x^2,e^-y

Passo 3

Agora a integral fica dupla:
integralx=1^2integraly=0^2x x^2,e^-y;dy;dx
Integramos em y:
integraly=0^2x x^2,e^-y;dy = x^2;l[-e^-yr]0^2x = x^2;(-e^-2x + e^0) = x^2,(1 - e^-2x)

Passo 4

Agora sobrou uma só integral em x:
integral1^2 x^2,(1 - e^-2x);dx = integral1^2 x^2;dx ;-;integral1^2 x^2,e^-2x;dx
Calculemos a primeira parte direto:
integral1^2 x^2;dx = l[tfracx^33r]1^2 = 83-13 = 73

Passo 5

Agora falta
integral1^2 x^2,e^-2x;dx
A gente usa integração por partes, que diz
integral u,dv = u,v - integral v,du
Escolha u = x^2, então du = 2x,dx. E dv = e^-2xdx, então v = -tfrac12 e^-2x.
Aplicando:
integral x^2,e^-2xdx = -tfrac12,x^2,e^-2x - integrall(-tfrac12 e^-2xr),2x,dx
= -tfrac12x^2e^-2x + integral x,e^-2x,dx
Agora integramos integral x,e^-2xdx de novo por partes. Seja u = x ( du=dx) e dv = e^-2xdx ( v=-tfrac12e^-2x):
integral x,e^-2xdx = -tfrac12 x,e^-2x - integrall(-tfrac12e^-2xr)dx = -tfrac12 x,e^-2x + tfrac12integral e^-2xdx
= -tfrac12 x,e^-2x + tfrac12l(-tfrac12e^-2xr) = -tfrac12 x,e^-2x - tfrac14e^-2x
Juntando tudo:
integral x^2e^-2xdx = -tfrac12x^2e^-2x + l(-tfrac12 x,e^-2x - tfrac14e^-2xr)
= -e^-2x,l(tfrac12x^2 + tfrac12x + tfrac14r)
Então, de 1 a 2:
integral1^2 x^2e^-2xdx = l[-e^-2xl(tfracx^22+tfracx2+tfrac14r)r]1^2
$$= \Bigl[-e^{-4}\tfrac{13}{4}\Bigr] - \Bigl[-e^{-2}\tfrac{5}{4}\Bigr]
= -\frac{13}{4}e^{-4} + \frac{5}{4}e^{-2}.$$

Passo 6

Voltando à nossa integral total:
integral1^2 x^2(1-e^-2x)dx = 73 ;-;l(-tfrac134e^-4 + tfrac54e^-2r)
= 73 + 134e^-4 - 54e^-2

Resposta

boxed73 ;-;54e^-2 ;+;134e^-4

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