Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede para calcular a integral tripla iterada
Aqui o conteúdo é cálculo de integrais iteradas (ou integrais múltiplas) e vamos usar também integração por partes quando chegarmos na parte de integrar algo tipo
1) Integrar em
2) Integrar em
3) Integrar em
Passo 2
Integramos primeiro em
. Como a função
não depende de
, vale:
Passo 3
Agora a integral fica dupla:
Integramos em
Passo 4
Agora sobrou uma só integral em
:
Calculemos a primeira parte direto:
Passo 5
Agora falta
A gente usa integração por partes, que diz
Escolha
, então
. E
, então
.
Aplicando:
Aplicando:
Agora integramos
de novo por partes. Seja
(
) e
(
):
Juntando tudo:
Então, de
a
:
$$= \Bigl[-e^{-4}\tfrac{13}{4}\Bigr] - \Bigl[-e^{-2}\tfrac{5}{4}\Bigr]
= -\frac{13}{4}e^{-4} + \frac{5}{4}e^{-2}.$$
Passo 6
Voltando à nossa integral total: