Calcule a integral iterada.
integral1^1 integral0^2 y integral0^x+y 6 x y d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral tripla iterada. O enunciado pede para calcular
integraly=1^1;integralx=0^2y;integralz=0^x+y 6,x,y ;dz,dx,dy
Isso faz parte de Cálculo em várias variáveis, mais especificamente de integrais iteradas. A gente vai usar:
  1. A definição de integral iterada (integrar primeiro em , depois , depois ).
  2. A propriedade de que se o limite inferior e o superior são iguais, a integral vale zero.

Passo 2

Primeiro, integramos em relação a integral0^x+y 6,x,y ;dz , tratando 6xy integral0^x+y dz = 6xy l[zr]0^x+y = 6xy,(x+y - 0) = 6xy,(x+y) e como constantes:
Como não depende de , sai da integral:

Passo 3

Agora integramos esse resultado em integral0^2y 6xy,(x+y);dx , de 6yintegral0^2y l(x^2 + x,yr),dx =6yl[integral0^2y x^2dx + integral0^2y x,y,dxr] até 6yl(8y^33 + 2y^3r) =6yl(8y^3 + 6y^33r) =6y;14y^33 =84y^43 =28y^4 :
Primeiro, distribui dentro:
Calcula cada uma:

  • Então

Passo 4

Faltou só a integral em integral1^1 28,y^4;dy , que vai de até :
Mas toda integral é zero, porque os limites são iguais.

Resposta

Logo, o valor da integral iterada dada é
boxed0

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