Calcule integral de linha fechada gamma para campo vetorial v=(z, x, y) usando teorema de Stokes onde gamma é intersecção de paraboloide x^2+y^2+z=4 e plano z=0. Use dois tipos de superfícies: 1) disco x^2+y^2 <= 4 e 2) parte de paraboloide x^2+y^2+z=4 com z >= 0.

Passo 1

Beleza, a questão pede para calcular a integral de linha fechada
ointgamma vec vcdot dvec r
onde x^2+y^2+z=4 e é o círculo de interseção entre o paraboloide
e o plano . Esse círculo é simplesmente , , de raio 2.
O conteúdo aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona essa integral de linha com uma integral de superfície do rotacional de . Para resolver vamos precisar:
  1. calcular ,
  2. escolher duas superfícies com a mesma fronteira (o disco e a parte do paraboloide),
  3. fazer a integral de superfície .

Passo 2

O Teorema de Stokes diz
ointgamma vec vcdot dvec r ;=;integral duplaS l(nablatimesvec vr)cdotvec n,dS
Então primeiro vem o rotacional de nablatimesvec v =det vec i & vec j & vec k partialx & partialy & partialz z & x & y =(1,1,1) :
Ou seja, em todos os pontos.

Passo 3

Superfície 1: o disco (nablatimesvec v)cdotvec n ;=;(1,1,1)cdot(0,0,1)=1 no plano integral duplaS11;dS =área do disco =picdot2^2 =4pi , .
  • A normal orientada “pra cima” é .
  • Então
  • A integral de superfície vira á

Passo 4

Superfície 2: a parte do paraboloide vec n,dS =(-fx,,-fy,,1),dA =(2x,,2y,,1),dA , dada por (nablatimesvec v)cdotvec n =(1,1,1)cdot(2x,2y,1) =2x+2y+1 , com integral duplax^2+y^2<=41,dA =área do disco =4pi .
Podemos usar projeção no plano :
  • Se , a elemento de área vetorial (normal não unitária) é
  • Logo
  • Ao integrar em disco centrado na origem, as partes e somam zero por simetria, sobrando á

Resposta

ointgamma vec vcdot dvec r ;=;4pi

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