Calcule integral de linha fechada para campo vetorial usando teorema de Stokes onde é intersecção de paraboloide e plano . Use dois tipos de superfícies: 1) disco e 2) parte de paraboloide com .
Passo 1
Beleza, a questão pede para calcular a integral de linha fechada
onde e é o círculo de interseção entre o paraboloide
e o plano . Esse círculo é simplesmente , , de raio 2.
O conteúdo aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona essa integral de linha com uma integral de superfície do rotacional de . Para resolver vamos precisar:
calcular ,
escolher duas superfícies com a mesma fronteira (o disco e a parte do paraboloide),
fazer a integral de superfície .
Passo 2
O Teorema de Stokes diz
Então primeiro vem o rotacional de :
Ou seja, em todos os pontos.
Passo 3
Superfície 1: o disco (nablatimesvec v)cdotvec n ;=;(1,1,1)cdot(0,0,1)=1 no plano integral duplaS11;dS =área do disco =picdot2^2 =4pi , .
A normal orientada “pra cima” é .
Então
A integral de superfície viraá
Passo 4
Superfície 2: a parte do paraboloide vec n,dS =(-fx,,-fy,,1),dA =(2x,,2y,,1),dA , dada por (nablatimesvec v)cdotvec n =(1,1,1)cdot(2x,2y,1) =2x+2y+1 , com integral duplax^2+y^2<=41,dA =área do disco =4pi .
Podemos usar projeção no plano :
Se , a elemento de área vetorial (normal não unitária) é
Logo
Ao integrar em disco centrado na origem, as partes e somam zero por simetria, sobrandoá