Considere a função ln x tabelada nos seguintes valores 0.1,0.2,1.0,1.2 e 1.3.
Determine o valor aproximado para ln (0.15) e ln (1.13), e o erro cometido em cada aproximação.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem uma tabela com valores de y(x)approx y0 + y1 - y0x1 - x0,(x - x0) para , e pede pra gente achar aproximações de e e ver o erro de cada uma. O conteúdo aqui é interpolação linear (aquela de “liga os pontos e vê quanto cai”) e depois a gente compara com o valor “verdadeiro” usando a calculadora pra estimar o erro.
O que vamos precisar:
  • Fórmula de interpolação linear entre dois pontos e :
  • Os valores tabulados:
    ,
    ,
    ,
    ,
    .
  • Depois, a gente calcula o erro comparando com o valor “real” de (por exemplo, da calculadora).

Passo 2

Aproximando m = ln(0.2) - ln(0.1)0.2 - 0.1 = -1.609438 - (-2.302585)0.1 = 0.6931470.1 = 6.93147 por interpolação linear entre ln(0.15) approx ln(0.1) + m,(0.15 - 0.1) = -2.302585 + 6.93147 times 0.05 = -2.302585 + 0.346574 = -1.956011 e :
  1. Calcular o coeficiente angular (a “inclinação”):
  1. Usar a fórmula:

Passo 3

Agora o erro em E0.15 = -1.956011 - (-1.897120) = -0.058891 :
  • Valor “real” pela calculadora: .
  • Erro = aproximação – valor real
Em módulo, o erro é .

Passo 4

Aproximando m = ln(1.2) - ln(1.0)1.2 - 1.0 = 0.182322 - 00.2 = 0.91161 por interpolação entre ln(1.13) approx ln(1.0) + m,(1.13 - 1.0) = 0 + 0.91161 times 0.13 = 0.118509 e :
  1. Coeficiente angular:
  1. Fórmula:

Passo 5

Erro em E1.13 = 0.118509 - 0.122217 = -0.003708 :
  • Valor “real” pela calculadora: .
  • Erro = aproximação – valor real
Em módulo, .

Resposta

Aproximações e erros:
  • , erro .
  • , erro .

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