Considere a função ln x tabelada nos seguintes valores 0.1,0.2,1.0,1.2 e 1.3.
Obtenha o polinômio interpolador para ln usando a forma de Lagrange.

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede: a gente tem os valores de ln x nos pontos x = 0.1, 0.2, 1.0, 1.2 e 1.3, e quer montar o polinômio interpolador de grau 4 usando a forma de Lagrange.
Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange. Vamos precisar lembrar que o polinômio de Lagrange de grau ≤4 é
P4(x)=sumi=0^4 yi,Li(x)
com
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^4x-xjxi-xj,
Aqui , , e assim por diante.

Passo 2

Primeiro listamos as abscissas e ordenadas:
x0&=0.1, y0=ln(0.1), x1&=0.2, y1=ln(0.2), x2&=1.0, y2=ln(1.0)=0, x3&=1.2, y3=ln(1.2), x4&=1.3, y4=ln(1.3)
A teoria de Lagrange diz que cada “anula” todos os termos exceto o no ponto .

Passo 3

Agora escrevemos cada base L0(x) =(x-0.2)(x-1.0)(x-1.2)(x-1.3) (0.1-0.2)(0.1-1.0)(0.1-1.2)(0.1-1.3) . Por exemplo, para (ou seja, ) temos
Calculei o denominador:

Passo 4

De modo análogo, os outros L1(x)&=(x-0.1)(x-1.0)(x-1.2)(x-1.3)-0.088, L2(x)&=(x-0.1)(x-0.2)(x-1.2)(x-1.3)0.0432, L3(x)&=(x-0.1)(x-0.2)(x-1.0)(x-1.3)-0.022, L4(x)&=(x-0.1)(x-0.2)(x-1.0)(x-1.2)0.0396 ficam:
P4(x)=sumi=0^4 yi,Li(x)
Aí, o polinômio de Lagrange é a soma

Resposta

Em forma explícita, o polinômio interpolador de grau 4 para boxed P4(x)&=ln(0.1),(x-0.2)(x-1.0)(x-1.2)(x-1.3)0.1188 +ln(0.2),(x-0.1)(x-1.0)(x-1.2)(x-1.3)-0.088[6pt] &+,0cdot(x-0.1)(x-0.2)(x-1.2)(x-1.3)0.0432 +ln(1.2),(x-0.1)(x-0.2)(x-1.0)(x-1.3)-0.022[6pt] &+,ln(1.3),(x-0.1)(x-0.2)(x-1.0)(x-1.2)0.0396, nos pontos dados é
Esse é o polinômio de Lagrange que interpola nos pontos 0.1, 0.2, 1.0, 1.2 e 1.3.

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