Calcule a Integral a seguir e estime do erro usando Regra do Trapézio repetida com 4 subdivisões. Fazer a tabela dos valores, inclusive do erro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de
de 0 até
e estimar o erro usando a Regra do Trapézio com 4 subdivisões. Para isso, vamos precisar de conhecimento de Cálculo Integral e da Regra do Trapézio. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral representa. Temos:
A integral de
é
, então podemos calcular o valor exato:
Então, o valor exato da integral é 1.
Passo 3
Agora, vamos usar a Regra do Trapézio para aproximar esse valor. A Regra do Trapézio aproxima a área sob a curva dividindo-a em trapézios. Quando usamos subdivisões repetidas, dividimos o intervalo
em
partes iguais.
Aqui, nosso intervalo é de
a
e vamos usar
subdivisões.
Primeiro, calculamos o tamanho de cada subdivisão (
):
Passo 4
Vamos identificar os pontos
e calcular
para cada um deles. Os pontos são:
Calculando:
Agora, calculamos
:
Passo 5
Aplicando a Regra do Trapézio Repetida, a fórmula é:
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:
Portanto, a aproximação pela Regra do Trapézio é aproximadamente 0.987.
Passo 6
Agora, vamos estimar o erro na nossa aproximação. O erro para a Regra do Trapézio é dado por:
Onde
é o valor máximo da segunda derivada de
no intervalo
.
Para
, a segunda derivada é:
O valor absoluto de
é:
Então,
.
Substituindo na fórmula do erro:
Calculando numericamente:
Então:
Resposta
Usando a Regra do Trapézio com 4 subdivisões, a aproximação da integral é aproximadamente
e o erro estimado é no máximo
.