Calcule a Integral a seguir e estime do erro usando Regra do Trapézio repetida com 4 subdivisões. Fazer a tabela dos valores, inclusive do erro.
I=integral0^pi2 cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de cos(x) de 0 até pi2 e estimar o erro usando a Regra do Trapézio com 4 subdivisões. Para isso, vamos precisar de conhecimento de Cálculo Integral e da Regra do Trapézio. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral representa. Temos:
I = integral0^pi2 cos(x) , dx
A integral de cos(x) é sin(x), então podemos calcular o valor exato:
I = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
Então, o valor exato da integral é 1.

Passo 3

Agora, vamos usar a Regra do Trapézio para aproximar esse valor. A Regra do Trapézio aproxima a área sob a curva dividindo-a em trapézios. Quando usamos subdivisões repetidas, dividimos o intervalo [a, b] em n partes iguais.
Aqui, nosso intervalo é de 0 a pi2 e vamos usar n = 4 subdivisões.
Primeiro, calculamos o tamanho de cada subdivisão ( h):
h = b - an = pi2 - 04 = pi8

Passo 4

Vamos identificar os pontos xi e calcular f(xi) = cos(xi) para cada um deles. Os pontos são:
xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, 3, 4
Calculando:
|c|c| hline i & xi = 0 + i cdot pi8 hline 0 & 0 1 & pi8 2 & pi4 3 & 3pi8 4 & pi2 hline
Agora, calculamos f(xi) = cos(xi):
|c|c|c| hline i & xi & cos(xi) hline 0 & 0 & 1 1 & pi8 & cos(pi8) approx 0.9239 2 & pi4 & cos(pi4) approx 0.7071 3 & 3pi8 & cos(3pi8) approx 0.3827 4 & pi2 & cos(pi2) = 0 hline

Passo 5

Aplicando a Regra do Trapézio Repetida, a fórmula é:
T = h2 [ f(x0) + 2 sumi=1^n-1 f(xi) + f(xn) ]
Substituindo os valores:
T = pi82 [ 1 + 2(0.9239 + 0.7071 + 0.3827) + 0 ]
Calculando dentro dos parênteses:
1 + 2(0.9239 + 0.7071 + 0.3827) = 1 + 2(2.0137) = 1 + 4.0274 = 5.0274
Então:
T = pi16 times 5.0274 approx 0.19635 times 5.0274 approx 0.987
Portanto, a aproximação pela Regra do Trapézio é aproximadamente 0.987.

Passo 6

Agora, vamos estimar o erro na nossa aproximação. O erro para a Regra do Trapézio é dado por:
|E| <= (b - a)^312 n^2 cdot K
Onde K é o valor máximo da segunda derivada de f(x) no intervalo [a, b].
Para f(x) = cos(x), a segunda derivada é:
f''(x) = -cos(x)
O valor absoluto de f''(x) é:
|f''(x)| = |cos(x)| <= 1
Então, K = 1.
Substituindo na fórmula do erro:
|E| <= (pi2 - 0)^312 times 4^2 times 1 = (pi2)^3192
Calculando numericamente:
(pi2)^3 approx (1.5708)^3 approx 3.8758
Então:
|E| <= 3.8758192 approx 0.0202

Resposta

Usando a Regra do Trapézio com 4 subdivisões, a aproximação da integral é aproximadamente 0.987 e o erro estimado é no máximo 0.0202.

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