Calcule a integral tripla.
integral duplaE z d V, onde E é limitado pelo cilindro y^2+z^2=9 e pelos planos x=0, y=3 e z=0 no primeiro octante

Passo 1

Resumo do enunciado e o que a matéria exige:
Vamos calcular
integral triplaE z,dV,
onde é a região no primeiro octante delimitada pelo cilindro e pelos planos , e .
Conteúdo: integrais triplas em coordenadas retangulares e o uso do Teorema de Fubini para reduzir a um iterado de integrais simples.

Passo 2

Determinar limites de integração:
  • Em integral triplaEz,dV =integralx=0^infty!integraly=0^3!integralz=0^raiz9-y^2z,dz,dy,dx : só há o plano , logo .
  • Em : (entre e ).
  • Em : de até a curva (círculo de raio 3 na projeção ).
    Pela Fubini,

Passo 3

Integração em integral0^raiz9-y^2z,dz =[z^22]0^raiz9-y^2 =9-y^22 e depois em integral0^39-y^22,dy =12l[9y-tfracy^33r]0^3 =12(27-9) =9 :
1)
Até aqui a parte em .

Passo 4

Integração em integral0^infty9,dx =9l[xr]0^infty =9cdotinfty =infty :
Como o integrando é constante em e o intervalo é infinito, a integral diverge.

Resposta

A integral tripla diverge, isto é, vale .

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