Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelo cilindro y=x^2 e pelos planos z=0 e y+z=1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e .
Isso é uma integral tripla em coordenadas cartesianas.
Para resolver, a gente precisa:
  1. entender os limites em ;
  2. montar a integral ;
  3. calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, descrevendo a região:
  • O chão é V ;=; integralx=-1^1 integraly=x^2^1 integralz=0^,1-y !dz;dy;dx .
  • O teto é a reta inclinada (porque ).
  • Lateral em é o “cilindro” .
    Então, para cada , vai de até onde o teto encontra o chão: em , temos .
  • Por fim, só faz sentido se , isto é .
Logo a integral fica:

Passo 3

Integramos primeiro em integralz=0^,1-y dz ;=; l[zr]0^,1-y ;=; 1 - y :
V = integral-1^1 integralx^2^1 (1 - y);dy;dx
Então a integral vira

Passo 4

Agora em integraly=x^2^1 (1 - y),dy = l[y - tfracy^22r]x^2^1 = l(1 - tfrac12r) ;-;l(x^2 - tfracx^42r) = tfrac12 - x^2 + tfracx^42 :
V = integral-1^1l(tfrac12 - x^2 + tfracx^42r),dx
Assim

Passo 5

A função é par, então dá pra dobrar de 0 a 1:
V = 2 integral0^1 l(tfrac12 - x^2 + tfracx^42r),dx
Calculando cada parte:
integral0^1 tfrac12,dx = tfracx2|0^1 = tfrac12, integral0^1 x^2,dx = tfrac13, integral0^1 x^4,dx = tfrac15
Logo dentro do colchete:
tfrac12 - tfrac13 + tfrac12cdottfrac15 = tfrac12 - tfrac13 + tfrac110 = tfrac5-10+310 = tfrac-210 = tfrac415
(Ajustando as frações direitinho dá V = 2 times tfrac415 = tfrac815 .)
Multiplicando por 2:

Resposta

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