Calcule a integral tripla.
integral triplaE(1 / x) d V, onde
E=(x, y, z) mid 0 <= x <= 1,0 <= z <= y^2, 1 <= x <= z+1

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral tripla
integral triplaE 1x,dV
onde
E=l(x,y,z)mid 0<= y<=1,;0<= z<= y^2,;1<= x<= z+1r
(Repare que no enunciado original havia “ ” e “ ” que dava conflito; aqui supomos que o primeiro limite era de .)
Conteúdo: integrais triplas, mudança de ordem (ou integração iterada) e integração por partes. Vamos usar:
  1. Montar a integral iterada .
  2. Resolver integrais simples em , e por fim em , explicando cada passo.

Passo 2

Escrevendo a integral iterada fica:
integraly=0^1l[;integralz=0^y^2l(integralx=1^,z+11x,dxr),dzr],dy
Vamos começar integrando em , porque .

Passo 3

Integral em integralx=1^z+11x,dx =l[ln xr]1^z+1 =ln(z+1)-ln1 =ln(z+1) :
integraly=0^1integralz=0^y^2ln(z+1),dz,dy
Então a integral vira

Passo 4

Agora integramos em integral0^y^2ln(1+z),dz =l[(1+z)ln(1+z)-zr]0^y^2 =(1+y^2)ln(1+y^2)-y^2;-;l[1cdotln1-0r] =(1+y^2)ln(1+y^2)-y^2 . Lembrando que
integraly=0^1l[(1+y^2)ln(1+y^2)-y^2r]dy .
Aplicando de a :
Então virou

Passo 5

Dividimos em duas partes:
I=integral0^1(1+y^2)ln(1+y^2),dy e J=integral0^1y^2,dy
  1. É fácil ver que I=l(y+tfracy^33)ln(1+y^2)r|0^1 -integral0^1l(y+tfracy^33r)2y1+y^2,dy .
  2. Para
    y^41+y^2=y^2-1+11+y^2,
    fazemos integração por partes:
  • Escolhemos I=43ln2-149+pi3 , então .
  • Escolhemos , então .
    Aplicando
No limite o termo de frente é .
No integrando usamos a identidade
para separar em integrais elementares de potências e .
O resultado final dá

Passo 6

Voltando ao integral total:
integral0^1l[(1+y^2)ln(1+y^2)-y^2r]dy =I-J =l(43ln2-149+pi3r)-13 =43ln2+pi3-179
Podemos ainda juntar em uma fração só:
12ln2+3pi-179

Resposta

boxedintegral triplaE1x,dV ;=;12ln2 ;+;3pi;-;179

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