Calcule a integral trocando a ordem de integração.
integral0^8 integralraiz[3]y^2 e^e^4 d x d y

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma integral dupla
integraly=0^8integralx=raiz[3]y^2 e^e^4;dx,dy
e o objetivo é trocar a ordem de integração (ou seja, primeiro integrar em 0<= y<= 8, raiz[3]y<= x<= 2 e depois em ).
Conteúdo: integrais duplas e mudança de ordem.
O que vamos precisar:
• Entender a região em que varia, dada por

• Saber que a curva é a mesma coisa que .
• Trocar limites de integração usando essa descrição.
• Integrar uma função constante (no caso, ).

Passo 2

Vamos desenhar mentalmente a região integralx=0^2;integraly=0^x^3 e^e^4;dy,dx :
  • A condição é a curva .
  • Para cada entre 0 e 8, vai de até 2.
Emversão de ordem:
  1. Qual o menor e o maior valor de em ?
    • Quando , . E sempre .
    • Logo varia de 0 até 2.
  2. Para cada valor fixo de entre 0 e 2, quais valores de fazem parte de ?
    • A fronteira de baixo é .
    • A fronteira de cima é dada por (porque inverter ).
    • Então, para esse , vai de 0 até .
Portanto a integral trocada fica

Passo 3

Agora é só integrar passo a passo:
  1. Inner integral em integraly=0^x^3 e^e^4;dy = e^e^4,l[yr]0^x^3 = e^e^4,l(x^3 - 0r) = e^e^4,x^3 : integralx=0^2 e^e^4,x^3;dx = e^e^4,integral0^2 x^3;dx = e^e^4,l[tfracx^44r]0^2 = e^e^4,l(tfrac2^44-0r) = e^e^4,cdot 4 = 4,e^e^4
  2. Fica então

Resposta

A integral, trocando a ordem de integração, vale
boxed4,e^e^4

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