Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma integral dupla
e o objetivo é trocar a ordem de integração (ou seja, primeiro integrar em
Conteúdo: integrais duplas e mudança de ordem.
O que vamos precisar:
• Entender a região
• Saber que a curva
• Trocar limites de integração usando essa descrição.
• Integrar uma função constante (no caso,
Passo 2
Vamos desenhar mentalmente a região
:
- A condição
é a curva . - Para cada
entre 0 e 8, vai de até 2.
Emversão de ordem:
- Qual o menor e o maior valor de
em ? - Quando
, . E sempre . - Logo
varia de 0 até 2.
- Quando
- Para cada valor fixo de
entre 0 e 2, quais valores de fazem parte de ? - A fronteira de baixo é
. - A fronteira de cima é dada por
(porque inverter dá ). - Então, para esse
, vai de 0 até .
- A fronteira de baixo é
Portanto a integral trocada fica
Passo 3
Agora é só integrar passo a passo:
- Inner integral em
: - Fica então
Resposta
A integral, trocando a ordem de integração, vale