Encontre uma fórmula para a função inversa.
f(x)=e^x^x

Passo 1

Resumo da questão: a gente quer achar a função inversa de
f(x) = e^,x^x
Conteúdo envolvido: funções inversas, logaritmos e a famigerada função de Lambert . Para resolver você vai precisar saber que:
  • Para inverter uma exponencial, a gente geralmente toma logaritmo.
  • A equação se resolve por .

Passo 2

Começando a inversão: ponho
y = e^,x^x
Como o expoente tá grudado em ln y = x^x , o primeiro passo é “liberar” esse usando logaritmo natural:

Passo 3

Ainda tá feio porque x^x = e^xln x, aparece como base e expoente. A gente aplica log de novo, mas primeiro reescreve
ln(ln y) = lnl(e^,xln xr) = xln x
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u = ln x
Agora definimos
xln x = e^ucdot u = u,e^u
Então u,e^u = ln(ln y) e
Assim a nossa equação vira

Passo 4

Por definição da função de Lambert u = W(A) , quem satisfaz u = W!l(ln(ln y)r) é
ln x = W!l(ln(ln y)r) ;;Longrightarrow;; x = e^,W(ln(ln y))
No nosso caso . Então
Lembrando que , temos

Resposta

A inversa de boxedf^-1(x) ;=; exp!l(Wl(ln(ln x)r)r) é

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