Encontre uma fórmula para a função inversa.
Passo 1
Resumo da questão: a gente quer achar a função inversa de
Conteúdo envolvido: funções inversas, logaritmos e a famigerada função de Lambert
. Para resolver você vai precisar saber que:
- Para inverter uma exponencial, a gente geralmente toma logaritmo.
- A equação
se resolve por .
Passo 2
Começando a inversão: ponho
Como o expoente tá grudado em
, o primeiro passo é “liberar” esse
usando logaritmo natural:
Passo 3
Ainda tá feio porque
aparece como base e expoente. A gente aplica log de novo, mas primeiro reescreve
logo
Agora definimos
Então
e
Assim a nossa equação vira
Passo 4
Por definição da função de Lambert
, quem satisfaz
é
No nosso caso
. Então
Lembrando que
, temos
Resposta
A inversa de
é