Calcule integral0^3 116+x^2 d x pela regra do trapézio com seis subintervalos e forneça uma estimativa para o erro.

Passo 1

Beleza, então o enunciado manda a gente calcular
integral0^3 116 + x^2,dx
usando a regra do trapézio com subintervalos e ainda estimar o erro. Isso é um tópico de Cálculo Numérico: a ideia é aproximar a integral por uma soma de áreas de trapézios sobre os subintervalos. A gente vai precisar de:
  1. dividir o intervalo em 6 pedaços (calcular ),
  2. calcular os valores em cada ponto,
  3. aplicar a fórmula do trapézio,
  4. usar a fórmula de cota de erro do trapézio.

Passo 2

Primeiro vamos fatiar o intervalo.
  • h = b-an = 3-06 = 0.5 , xi = a + i,h, i=0,1,dots,6, , .
  • O passo é
Agora marcamos os pontos
ou seja , , , , .

Passo 3

Definimos f0 &= f(0)=116=0.0625, f1 &= f(0.5)=116.25approx0.0615385, f2 &= f(1)=117approx0.0588235, f3 &= f(1.5)=118.25approx0.0547945, f4 &= f(2)=120=0.05, f5 &= f(2.5)=122.25approx0.0449438, f6 &= f(3)=125=0.04 . Calculamos cada T = hl(tfracf0 + f62 + sumi=1^5fir) :
sumi=1^5fi approx 0.2701003, tfracf0+f62=0.05125,
A regra do trapézio é
T = 0.5,[,0.05125 + 0.2701003,] approx 0.1606752
Substituindo:
então

Passo 4

Agora a estimativa de erro: para a regra do trapézio vale
|ET| <= (b-a)^312,n^2,maxxin[0,3]|f''(x)|
Calculando |f''(0)| = 51216^4 = 0.0078125 para |ET| <= 3^312cdot6^2times0.0078125 =27432times0.0078125 approx 4.88times10^-4 dá, em módulo, o maior valor em :
Logo

Resposta

A aproximação pelo trapézio com integral0^3116+x^2,dx approx 0.16068, é
|ET|<= 4.88times10^-4
e a cota de erro satisfaz

Exercícios relacionados