Calcule
, com
pela regra do trapézio e por Simpson, de modo que o erro de truncamento seja menor que
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra aproximar
,
pra cada , usando as regras do trapézio e de Simpson, de modo que o erro de truncamento fique abaixo de
.
Conteúdo: integrais numéricas (trapézio e Simpson) e estimativa de erro via derivadas de .
pra cada
Conteúdo: integrais numéricas (trapézio e Simpson) e estimativa de erro via derivadas de
Passo 2
Primeiro, escrevemos
Vamos precisar de
Vamos precisar de
-
para o erro do trapézio, -
para o erro de Simpson,
e o máximo absoluto dessas derivadas em.
Derivando:
Como em
as potências negativas são maiores em
, temos
Passo 3
As fórmulas de erro truncamento são:
Trapézio com subintervalos
Trapézio com
Simpson com
par
Queremos cada erro
.
Passo 4
Resolvendo as desigualdades para
:
- Trapézio:
- Simpson:
Como
deve ser inteiro (e par no caso do Simpson), tomamos o teto adequado.
Passo 5
Calculando para cada
:
k=1 (
)
- Trapézio:
→ . - Simpson:
→ o menor par é .
k=2 (
)
- Trapézio:
→ . - Simpson:
→ .
k=3 (
)
- Trapézio:
→ . - Simpson:
→ .
k=4 (
)
- Trapézio:
→ . - Simpson:
→ .
Resposta
Para cada
, os menores números de subintervalos que garantem erro abaixo de
são
k | Trapézio
|
Simpson
|
---|---|---|
1 | 5 | 2 |
2 | 9 | 2 |
3 | 16 | 2 |
4 | 28 | 4 |