Calcule integral2^3 raiz10^k x d x, com k in1,2,3,4 pela regra do trapézio e por Simpson, de modo que o erro de truncamento seja menor que 10^-3.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra aproximar
,
pra cada , usando as regras do trapézio e de Simpson, de modo que o erro de truncamento fique abaixo de .
Conteúdo: integrais numéricas (trapézio e Simpson) e estimativa de erro via derivadas de .

Passo 2

Primeiro, escrevemos
f'(x)=10^k/2,tfrac12,x^-1/2, f''(x)=10^k/2,(-tfrac14),x^-3/2,
Vamos precisar de
  • f'''(x)=10^k/2,(+tfrac38),x^-5/2, f^(4)(x)=10^k/2,(-tfrac1516),x^-7/2 para o erro do trapézio,
  • M2=max[2,3]|f''(x)|=10^k/24,2^3/2 =10^k/28raiz2, para o erro de Simpson,
    e o máximo absoluto dessas derivadas em M4=max[2,3]|f^(4)(x)|=15,10^k/216,2^7/2 =15,10^k/2128raiz2 .
Derivando:
Como em as potências negativas são maiores em , temos

Passo 3

As fórmulas de erro truncamento são:
Trapézio com |ET|<= (b-a)^312,n^2,M2 =1^312,n^2cdot10^k/28raiz2 =10^k/296raiz2,n^2 subintervalos
|ES|<= (b-a)^5180,n^4,M4 =1^5180,n^4cdot15,10^k/2128raiz2 =15,10^k/223040raiz2,n^4
Simpson com par
Queremos cada erro .

Passo 4

Resolvendo as desigualdades para 10^k/296raiz2,n^2<10^-3 Longrightarrow n>raiz10^k/296raiz2;10^-3 :
  1. Trapézio:
15,10^k/223040raiz2,n^4<10^-3 Longrightarrow n>l(15,10^k/223040raiz2;10^-3r)^1/4
  1. Simpson:
Como deve ser inteiro (e par no caso do Simpson), tomamos o teto adequado.

Passo 5

Calculando para cada :
k=1 ( )
  • Trapézio: .
  • Simpson: → o menor par é .
k=2 ( )
  • Trapézio: .
  • Simpson: .
k=3 ( )
  • Trapézio: .
  • Simpson: .
k=4 ( )
  • Trapézio: .
  • Simpson: .

Resposta

Para cada , os menores números de subintervalos que garantem erro abaixo de são
k Trapézio Simpson
1 5 2
2 9 2
3 16 2
4 28 4

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