Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, considerando 4 e 6 subintervalos:
Qual é o número de subdivisões do intervalo que garante erros menores que
, em cada caso.
Qual é o número de subdivisões do intervalo que garante erros menores que
Passo 1
Beleza, o que temos aqui? Queremos aproximar a integral
usando duas regras de quadratura: trapézios e Simpson.
Também precisamos descobrir quantos subintervalos são necessários em cada caso para que o erro fique abaixo de
.
Também precisamos descobrir quantos subintervalos
Conteúdo envolvido:
- Fórmulas do método dos trapézios e de Simpson.
- Cálculo de passo
e avaliação de . - Estimativa de erro teórico para cada método (envolve derivadas de
).
A partir do próximo passo a gente parte para os cálculos na prática.
Passo 2
Aproximação pela regra dos trapézios (primeiro para
e depois para
)
- Definindo
. - O passo é
. - Ponto
, para . - Fórmula dos trapézios:
Para
:
-
. -
. - Avaliando
:
, ,
, , . - Soma interna
. - Então
- Valor exato
. - Erro
.
Para
:
-
. -
. -
: . - Soma interna
. -
- Erro
.
Passo 3
Aproximação pela regra de Simpson (para
e
)
Fórmula de Simpson (exige
par):
Para
(
), usando os mesmos
do Passo 2:
-
. - Soma ímpar
: . - Soma par
: . -
- Erro
.
Para
(
), usando os
do Passo 2:
-
. - Ímpares
: . - Pares
: . -
- Erro
.
Passo 4
Agora vamos ao erro teórico para saber
mínimo para erro
.
-
Método dos trapézios:
- Fórmula de erro:
-
;→; ;→; em . - Substituindo
, :
Queremos; ; .
Então. - Fórmula de erro:
-
Método de Simpson:
- Erro:
- Calculando
; em . -
Queremos; ; .
Como Simpson exigepar, escolhemos . - Erro:
Resposta
- Aproximações:
- Trapézios
, . - Simpson
, .
- Trapézios
- Número de subintervalos para erro
: - Trapézios:
. - Simpson:
.
- Trapézios: