Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, considerando 4 e 6 subintervalos:
integral1^4 raizx d x
Qual é o número de subdivisões do intervalo que garante erros menores que 10^-5, em cada caso.

Passo 1

Beleza, o que temos aqui? Queremos aproximar a integral
integral1^4 raizx,dx
usando duas regras de quadratura: trapézios e Simpson.
Também precisamos descobrir quantos subintervalos são necessários em cada caso para que o erro fique abaixo de .
Conteúdo envolvido:
  • Fórmulas do método dos trapézios e de Simpson.
  • Cálculo de passo e avaliação de .
  • Estimativa de erro teórico para cada método (envolve derivadas de ).
A partir do próximo passo a gente parte para os cálculos na prática.

Passo 2

Aproximação pela regra dos trapézios (primeiro para Tn = h2l(f(x0)+2sumi=1^n-1f(xi)+f(xn)r) e depois para T4 = 0,75/2l(1+2cdot4,7068+2r) =0,375,(1+9,4136+2) approx4,6551 )
  1. Definindo T6=0,52l(1+2cdot7,8229+2r) =0,25,(1+15,6458+2) approx4,6615 .
  2. O passo é .
  3. Ponto , para .
  4. Fórmula dos trapézios:
Para :
  • .
  • .
  • Avaliando :
    , ,
    , , .
  • Soma interna .
  • Então
  • Valor exato .
  • Erro .
Para :
  • .
  • .
  • : .
  • Soma interna .
  • Erro .

Passo 3

Aproximação pela regra de Simpson (para Sn = h3l(f(x0)+4sumsubstacki=1i ímpar^n-1f(xi) +2sumsubstacki=2i par^n-2f(xi)+f(xn)r) e S4 = 0,753l(3 + 4cdot3,1257 + 2cdot1,5811r) =0,25,(3+12,5028+3,1622) approx4,6662 )
Fórmula de Simpson (exige S6 = 0,53l(3 + 4cdot4,6766 + 2cdot3,1463r) approx0,1667,(3+18,7064+6,2926) approx4,66656 par):
í
Para ( ), usando os mesmos do Passo 2:
  • .
  • Soma ímpar : .
  • Soma par : .
  • Erro .
Para ( ), usando os do Passo 2:
  • .
  • Ímpares : .
  • Pares : .
  • Erro .

Passo 4

Agora vamos ao erro teórico para saber |ET|<= (b-a)^312,n^2maxxin[a,b]|f''(x)| mínimo para erro |ET|<= 3^312,n^2cdot14 =2748,n^2 =916,n^2 .
  1. Método dos trapézios:
    • Fórmula de erro: |ES|<= (b-a)^5180,n^4maxxin[a,b]|f''''(x)|
    • |ES|<= 3^5180,n^4cdot1516 =243180,n^4cdot1516 =36452880,n^4 =8164,n^4 ;→; ;→; em .
    • Substituindo , :
    Queremos ; ; .
    Então .
  2. Método de Simpson:
    • Erro:
    • Calculando ; em .
    Queremos ; ; .
    Como Simpson exige par, escolhemos .

Resposta

  • Aproximações:
    • Trapézios , .
    • Simpson , .
  • Número de subintervalos para erro :
    • Trapézios: .
    • Simpson: .

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