Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, considerando 4 e 6 subintervalos:
Qual é o número de subdivisões do intervalo que garante erros menores que
, em cada caso.
Qual é o número de subdivisões do intervalo que garante erros menores que
Passo 1
Beleza, o exercício manda a gente aproximar
usando a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson, com 4 e 6 subintervalos, e depois descobrir quantos subintervalos são necessários em cada caso pra garantir erro < 10⁻⁵.
Conteúdo: integrais numéricas (composite trapezoidal e composite Simpson) e análise de erro (fórmulas de cota usando derivadas). Vamos precisar da integral exata pra comparar, das fórmulas de trapézio e Simpson, e das derivadas de pra cota de erro.
Conteúdo: integrais numéricas (composite trapezoidal e composite Simpson) e análise de erro (fórmulas de cota usando derivadas). Vamos precisar da integral exata pra comparar, das fórmulas de trapézio e Simpson, e das derivadas de
Passo 2
Primeiro, a integral exata:
Passo 3
Regra dos Trapézios com
.
- Comprimento de passo:
. - Nós:
. -
dá
- Fórmula:
Erro aproximado:
Passo 4
Regra dos Trapézios com
.
-
. - Nós:
, com
-
Erro:
Passo 5
Regra de Simpson com
.
- Mesmos
e do passo 3. - Fórmula:
Erro:
Passo 6
Regra de Simpson com
.
-
, valores do passo 4. -
Erro:
Passo 7
Cota de erro para Trapézios:
Substituindo
:
Passo 8
Cota de erro para Simpson:
Com
:
Simpson exige
par, logo
.
Resposta
- Integral exata:
. - Trapézios:
•: (erro ≈0,1139)
•: (erro ≈0,0529)
• Para erro <10⁻⁵:. - Simpson:
•: (erro ≈0,0214)
•: (erro ≈0,0068)
• Para erro <10⁻⁵:.