Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, considerando 4 e 6 subintervalos:
integral2^14 d xraizx
Qual é o número de subdivisões do intervalo que garante erros menores que 10^-5, em cada caso.

Passo 1

Beleza, o exercício manda a gente aproximar
integral2^14 dxraizx
usando a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson, com 4 e 6 subintervalos, e depois descobrir quantos subintervalos são necessários em cada caso pra garantir erro < 10⁻⁵.
Conteúdo: integrais numéricas (composite trapezoidal e composite Simpson) e análise de erro (fórmulas de cota usando derivadas). Vamos precisar da integral exata pra comparar, das fórmulas de trapézio e Simpson, e das derivadas de pra cota de erro.

Passo 2

Primeiro, a integral exata:
integral dxraizx = 2raizx + C Longrightarrow integral2^14 dxraizx = 2l(raiz14-raiz2r)approx 4,65488765

Passo 3

Regra dos Trapézios com T4 = h2l(f0 + 2sumi=1^3fi + f4r) = 32l(0,7071 +2(0,4472+0,3536+0,3015)+0,2673r) approx 4,7688 .
  • Comprimento de passo: .
  • Nós: .

  • Fórmula:
Erro aproximado:

Passo 4

Regra dos Trapézios com T6 = 22l(f0+2sumi=1^5fi+f6r) = 1l(0,7071+2(1,8667)+0,2673r) approx 4,7078 .
  • .
  • Nós: , com
Erro:

Passo 5

Regra de Simpson com S4 = h3l(f0 + 4(f1+f3) + 2f2 + f4r) = 33l(0,7071+4(0,4472+0,3015)+2cdot0,3536+0,2673r) approx 4,6763 .
  • Mesmos e do passo 3.
  • Fórmula:
Erro:

Passo 6

Regra de Simpson com S6 = h3l(f0 + 4(f1+f3+f5) + 2(f2+f4) + f6r) = 23l(0,7071+4(0,5+0,3536+0,2887)+2(0,4082+0,3162)+0,2673r) approx 4,6617 .
  • , valores do passo 4.
Erro:

Passo 7

Cota de erro para Trapézios:
|ET|<= (b-a)^312,n^2max[2,14]|f''(x)|, f''(x)=34x^-5/2,;max = 342^-5/2approx0,1326
Substituindo |ET|<= 12^312,n^2,0,1326 = 19,10n^2 <10^-5 ;Longrightarrow; n^2 >1,91times10^6 ;Longrightarrow; n>= 1.383 10^3approx1383 :

Passo 8

Cota de erro para Simpson:
|ES|<= (b-a)^5180,n^4max|f^(4)(x)|, f^(4)(x)=10516x^-9/2,;maxapprox0,2898
Com |ES|<= 12^5180,n^4,0,2898 = 400,8n^4 <10^-5 ;Longrightarrow; n^4>4,008times10^7 ;Longrightarrow; n>rsim79,6 :
Simpson exige par, logo .

Resposta

  • Integral exata: .
  • Trapézios:
    : (erro ≈0,1139)
    : (erro ≈0,0529)
    • Para erro <10⁻⁵: .
  • Simpson:
    : (erro ≈0,0214)
    : (erro ≈0,0068)
    • Para erro <10⁻⁵: .

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