Calcule integral0^pi[cos x+e^-x^2] d x, usando a Quadrattura Gaussiana com dois pontos.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente aproximar a integral
integral0^pi l[cos x + e^-x^2r],dx
usando a Quadratura Gaussiana de 2 pontos.
Matéria: métodos numéricos (integração por Quadratura de Gauss).
O que precisamos:
  1. Saber que a Quadratura de Gauss de ordem 2 usa dois pontos-teste em com pesos iguais a 1.
  2. Fazer a mudança de variável de para .
  3. Calcular a fórmula .

Passo 2

Transformando a integral de x = a+b2 + b-a2,t, a=0,;b=pi para x(t) = pi2 + pi2,t, dx = pi2,dt :
definimos
integral0^pi[cos x + e^-x^2],dx = integral-1^1l[cosl(x(t)r)+e^-,x(t)^2r]pi2,dt
então
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Passo 3

Na Quadratura de Gauss 2-pontos (Legendre) em t1 = -1raiz3, t2 = +1raiz3, w1 = w2 = 1 :
I approx pi2l[f(x(t1)) + f(x(t2))r],
Então a aproximação fica
f(x) = cos x + e^-x^2, x(ti) = pi2 + pi2,ti
onde

Passo 4

Vamos calcular numericamente:
t1 = x1 = pi2 + pi2(-0.5774) approx 1.5708 - 0.9070 = 0.6638 x2 = 1.5708 + 0.9070 = 2.4778 , então
f(x1) = cos(0.6638) + e^-0.6638^2 approx 0.7880 + e^-0.4406 approx 0.7880 + 0.6430 = 1.4310,
t2 = f(x2) = cos(2.4778) + e^-2.4778^2 approx -0.7880 + e^-6.141 approx -0.7880 + 0.0022 = -0.7858 I approx pi2,l(1.4310 + (-0.7858)r) =1.5708 times 0.6452 approx 1.014 , então
Agora
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Resposta

Aproximação pelo método de Gauss 2-pontos:
boxed,1,014 (aprox),

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