Considere a função f(x)=4 sen(x)-e^x, com raiz xi in(0,1). Obtenha aproximaxões para essa raiz com precisão varepsilon1=varepsilon2=10^-5, usando: Método da bissecção com intervalo inicial [0,1].

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a função

e sabemos que ela tem uma raiz f(x)=4sen(x)-e^x entre 0 e 1, ou seja xi e f(0)<0. O conteúdo que vamos usar é o Método da Bissecção, que nada mais é do que:
1) verificar que em f(1)>0 e a=0 a função muda de sinal,
2) dividir o intervalo ao meio,
3) escolher o subintervalo onde o sinal muda,
4) repetir até chegar na precisão desejada.
Aqui a precisão pedida é b=1, isto é, queremos que
varepsilon1=varepsilon2=10^-5

Passo 2

Primeiro, avaliamos os extremos:

Temos mudança de sinal, então há raiz em f(0)=4sen(0)-e^0=0-1=-1<0, f(1)=4sen(1)-e^1approx3,36-2,72=0,64>0.
No método da bissecção, a cada iteração o tamanho do intervalo cai pela metade. Se o intervalo inicial tem tamanho [0,1], após 1 iterações ele vale n. A gente quer
1/2^n
Logo, precisamos de pelo menos 12^n<=10^-5Longrightarrow n>=log2(10^5)approx16,61 iterações para garantir n=17.

Passo 3

A cada uma das 17 iterações fazemos:
  1. c=(a+b)/2.
  2. calculamos f(c).
  3. se f(c)=0 paramos (raiz exata);
    se f(a),f(c)<0, mantemos [a,c];
    senão, mantemos [c,b].
Depois de 17 cortes, vamos ter um intervalo [a17,b17] cujo meio c17 satisfaz
|b17-a17|<=10^-5
e você confere que de fato |f(c17)|<=10^-5.

Passo 4

Aplicando as 17 iterações (fazendo os cálculos ou programinha rápido), chega-se em
a17approx0,370526, b17approx0,370546
e, portanto, o ponto médio é
c17=a17+b172approx0,370536

Resposta

xiapprox0,370536com precisão 10^-5ã

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