Calcule integral0^pi[e^x+sin x+2] d x, usando a Quadrattura Gaussiana com dois pontos.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra a gente aproximar a integral
integral0^pil[e^x+sin x+2r],dx
usando a Quadratura Gaussiana de 2 pontos. O conteúdo aqui é “Quadratura de Gauss” (também chamada de Gauss–Legendre) e a gente vai precisar:
  1. da fórmula que transforma a integral de pra ,
  2. dos dois nós e dos pesos dessa quadratura.

Passo 2

Teoria na prática: para s1=-tfrac1raiz3, s2=+tfrac1raiz3, , os nós em w1=1, w2=1 são
integrala^b f(x),dx approx b-a2sumi=1^2 wi,f!l(tfracb-a2si+tfraca+b2r)
e os pesos são
A fórmula geral para aproximar
é
Aqui e .

Passo 3

Vamos calcular as quantidades de transformação:
  • metade do intervalo: ,
  • ponto médio: .
Logo a substituição .

Passo 4

Agora achamos os x1=pi2l(-tfrac1raiz3r)+pi2 =pi2l(1-tfrac1raiz3r), :
x2=pi2l(+tfrac1raiz3r)+pi2 =pi2l(1+tfrac1raiz3r)

Passo 5

Aproximamos numericamente cada ponto:
x1approx0,664,, x2approx2,478
Agora avaliamos f(x1)=e^0,664+sin(0,664)+2approx1,94+0,62+2=4,56, em cada um:
f(x2)=e^2,478+sin(2,478)+2approx11,92+0,62+2=14,54

Passo 6

Aplicando a fórmula da quadratura:
integral0^pil[e^x+sin x+2r]dx approx pi2l[f(x1)+f(x2)r] =pi2(4,56+14,54) =pi2times19,10 approx29,99

Resposta

Aproximação pela Quadratura Gaussiana de 2 pontos: .

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