Considere a função f(x)=4 sen(x)-e^x, com raiz xi in(0,1). Obtenha aproximaxões para essa raiz com precisão varepsilon1=varepsilon2=10^-5, usando:

Passo 1

Beleza, vamos resolver um probleminha de “achar raiz” para a função

cujo zero xn+1=xn-f(xn)f'(xn) está em .
Conteúdo: método da bisseção (baseado no Teorema do Valor Intermediário) e método de Newton (baseado em derivadas).
O que precisamos:
  • Saber que, se é contínua e , existe raiz em .
  • Aplicar a fórmula da bisseção até a largura do intervalo ser menor que .
  • Calcular e usar a iteração de Newton até .

Passo 2

Método da bisseção
  1. Definimos f(0)=4cdot0-1=-1<0, f(1)=4sen1-e>0,, ck=ak-1+bk-12,.
  2. Como
há troca de sinal, logo raiz em bk-ak2<10^-5.
3) A cada passo calculamos
testamos :
- se , fazemos , ;
- senão, , .
4) Paramos quando

Passo 3

Executando algumas iterações:
  1. c17approx0,37186, : , intervalo .
  2. : , .
  3. : , .
  4. : conseguimos .
    O ponto médio final é

Passo 4

Método de Newton
  1. Escolhemos chute inicial xn+1=xn-4sen(xn)-e^xn4cos(xn)-e^xn.
  2. Derivada: l|xn+1-xnr|<10^-5.
  3. Iteração:
  1. Paramos quando

Passo 5

Executando Newton (algumas iterações):
x₀=0,5 → x₁≈0,3555 → x₂≈0,3722 → x₃≈0,3715 → x₄≈0,37187 → …
Na 5ª iteração já tem xNewtonapprox0,37187.
Fica

Resposta

Raiz aproximada de em com :
  • Pelo método da bisseção: .
  • Pelo método de Newton: .

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