Considere a função f(x)=4 sen(x)-e^x, com raiz xi in(0,1). Obtenha aproximaxões para essa raiz com precisão varepsilon1=varepsilon2=10^-5, usando: Método do ponto fixo com varphi(x)=x-2 sen(x)+0.5 * e^x e chute inicial x0=0.5.

Passo 1

Beleza, o que a questão pede? Temos a função
e sabemos que ela tem uma raiz f(x) = 4sen(x) - e^x dentro do intervalo .
Conteúdo: método do ponto-fixo.
O que vamos usar:
  1. A função de iteração
    .
  2. Critérios de parada
    e ,
    com .
  3. Chute inicial .
A partir do próximo passo, vamos efetivamente calcular cada iteração até atingir essas tolerâncias.

Passo 2

Antes de começar a iterar, vale ver se a coisa converge. A condição de Banach diz que, se
|varphi'(x)| <= k < 1
para todo varphi'(x) ;=; 1 - 2cos(x) + 0.5,e^x em varphi'(x);approx;1 - 2,(0.54 a 1) + 0.5,(1 a 2.72) ;subset;[-0.5,;0.25], , então a iteração converge. Vamos derivar:
No nosso intervalo , temos
e ,
logo
ou seja . Convergência garantida!

Passo 3

Agora sim, vamos iterar
xn+1 = varphi(xn)
até e . Vou mostrar cada passo:
Agora calculamos as diferenças e o valor de :
  • .
Pronto, ambos os critérios atendidos em .

Resposta

A raiz aproximada é
xi approx 0.371423
com precisão tanto em quanto em .

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