Calcule usando a integração de Romberg. Inicie com passo e proceda até que a diferença entre dois valores consecutivos seja menor que .
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente aproximar
usando o método de Romberg, começando com passo e refinando até que a diferença entre duas estimativas consecutivas seja menor que .
Conteúdo: integração numérica, regra do trapézio e extrapolação de Richardson (que é o “pulo” do Romberg).
Vamos precisar:
A regra do trapézio:
A extrapolação de Richardson:
Passo 2
i = 0 e i = 1
i=0, , só os pontos :
i=1, , pontos em :Aí a primeira extrapolação (j=1):
Diferença , então vamos continuar.
Passo 3
i = 2 ()
Primeiro, a regra do trapézio refinada (4 subintervalos):
Extrapolações:
Diferença .
Passo 4
i = 3 ()
Trapézio com 8 subintervalos:
Extrapolações sucessivas:
Diferença .
Passo 5
i = 4 ()
Trapézio (16 subintervalos) e extrapolações:
Diferença .
Passo 6
i = 5 ()
Depois de calcular e todas as extrapolações, chega-se a
e agora
Resposta
A aproximação pelo método de Romberg, com critério de tolerância integral0^1 e^-x^2,dx approx 0,7468241328 , é