Calcule integral0^1 e^-x^2 d x usando a integração de Romberg. Inicie com passo h=1 e proceda até que a diferença entre dois valores consecutivos seja menor que 10^-6.

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente aproximar
integral0^1 e^-x^2,dx
usando o método de Romberg, começando com passo T(h) = h2l[f(a)+f(b)+2sumk=1^n-1f(a+k,h)r] e refinando até que a diferença entre duas estimativas consecutivas seja menor que R(i,j)=R(i,j-1)+R(i,j-1)-R(i-1,j-1)4^j-1 .
Conteúdo: integração numérica, regra do trapézio e extrapolação de Richardson (que é o “pulo” do Romberg).
Vamos precisar:
  • A regra do trapézio:
  • A extrapolação de Richardson:

Passo 2

i = 0 e i = 1
  1. i=0, R(0,0)=T0 =12l(f(0)+f(1)r) =12l(1+e^-1r) approx0,68393972 , só os pontos R(1,0)=T1 =0.52l(f(0)+2f(0.5)+f(1)r) approx0,73137025 : R(1,1) =R(1,0)+R(1,0)-R(0,0)4-1 approx0,74718042
  2. i=1, , pontos em : Aí a primeira extrapolação (j=1):
Diferença , então vamos continuar.

Passo 3

i = 2 ( R(2,0)=T2 approx0,74298409 )
  • Primeiro, a regra do trapézio refinada (4 subintervalos): R(2,1) =R(2,0)+R(2,0)-R(1,0)3 approx0,74685537,
  • Extrapolações: R(2,2) =R(2,1)+R(2,1)-R(1,1)15 approx0,74683392
Diferença .

Passo 4

i = 3 ( R(3,0)=T3approx0,74577892 )
  • Trapézio com 8 subintervalos: R(3,1)approx0,74671053, R(3,2)approx0,74670488, R(3,3)approx0,74670284
  • Extrapolações sucessivas:
Diferença .

Passo 5

i = 4 ( R(4,0)approx0,74640814,; R(4,1)approx0,74682311,; R(4,2)approx0,74682413,; R(4,3)approx0,74682412,; R(4,4)approx0,74682413 )
  • Trapézio (16 subintervalos) e extrapolações:
Diferença .

Passo 6

i = 5 ( R(5,5)approx0,7468241328, )
Depois de calcular l|R(5,5)-R(4,4)r|<10^-6 e todas as extrapolações, chega-se a
e agora

Resposta

A aproximação pelo método de Romberg, com critério de tolerância integral0^1 e^-x^2,dx approx 0,7468241328 , é

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