Calcule integral0^1 e^-x^2 d x usando a quadratura gaussiana de 3 , 5 e 7 pontos.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente calcular
integral0^1 e^-x^2 ,dx
usando a quadratura de Gauss–Legendre de 3, 5 e 7 pontos.
Conteúdo da matéria: fórmulas de transformação de intervalo e soma com pesos e nós da quadratura de Gauss.
O que vamos precisar:
  • Tabelas dos nós x = b-a2t + a+b2, integrala^b f(x),dx approx b-a2 sumi=1^n wi,f!l(b-a2ti + a+b2r) e dos pesos no intervalo para .
  • A transformação de para :
A partir do próximo passo a gente mete bronca nos cálculos.

Passo 2

Fórmula geral de Gauss–Legendre em integral0^1 e^-x^2,dx approx 1-02sumi=1^n wi,e^-xi^2, :
xi = 12ti + 12,
onde
e vêm da tabela para cada .

Passo 3

n = 3 pontos
  • Nós x1=0.1127017,;x2=0.5,;x3=0.8872983,
  • Pesos sumi=1^3 wi,e^-xi^2 =0.5556,e^-0.1127^2+0.8889,e^-0.5^2+0.5556,e^-0.8873^2 approx1.493513
Transformando e somando:
I3 approx 0.5 times 1.493513 = 0.74676
Multiplica por :

Passo 4

n = 5 pontos
  • Nós sumi=1^5 wi,e^-xi^2approx1.49412 Longrightarrow I5 approx 0.5times1.49412 = 0.74706
  • Pesos
Transformando e somando:

Passo 5

n = 7 pontos
  • Nós sumi=1^7 wi,e^-xi^2approx1.49378 Longrightarrow I7 approx 0.5times1.49378 = 0.74689
  • Pesos
Transformando e somando:

Resposta

Usando quadratura de Gauss–Legendre em :
  • 3 pontos:
  • 5 pontos:
  • 7 pontos:

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