Use a integração adaptativa para verificar que integral0^pi2 d xsen^2 x+14 cos ^2 x=pi, com pelo menos 7 casas decimais corretas.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra usar um método de “integração adaptativa” (que é um jeito inteligente de calcular integrais numéricas) pra verificar que
A matéria aqui é “métodos numéricos de integração”, em particular o método de Simpson adaptativo. Pra resolver, você vai precisar entender:
  1. O que é a regra de Simpson básica;
  2. Como estimar o erro e dividir o intervalo de forma adaptativa;
  3. Como usar isso pra chegar a uma aproximação com pelo menos 7 casas decimais corretas.

Passo 2

Antes de “botar a mão na massa”, vamos revisar a regra de Simpson simples.
Se a gente quer aproximar S(a,b) = b-a6l(f(a) + 4fl(tfraca+b2r) + f(b)r) , a regra de Simpson diz:
Isso equivale a aproximar por um polinômio de segundo grau que passa pelos pontos , e . Aí a gente calcula a área sob esse polinômio em vez da função real.

Passo 3

O truque da integração adaptativa é: a gente calcula l|S(a,m)+S(m,b) - S(a,b)r| < 15,varepsilon, , depois calcula Sadapt(a,b) = S(a,m)+S(m,b) + S(a,m)+S(m,b)-S(a,b)15 e (com ). Se
onde é a tolerância desejada (por exemplo ), então a gente aceita
Caso contrário, a gente “quebra” o intervalo ainda mais: aplica recursivamente a mesma ideia em e .

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa função
  1. Escolhemos f(x) = 1sen^2x + tfrac14cos^2x .
  2. Começamos com I approx 3.141592653589793, , .
  3. Calculamos , depois e .
  4. Verificamos o erro aproximado .
  5. Se for maior que , dividimos de novo; senão, aceitamos a correção.
  6. Continuamos recursivamente até todo pedaço cumprir a tolerância.
Fazendo isso (em código ou na mão com alguma ajuda computacional), a gente chega a uma aproximação
com erro menor que .

Passo 5

Pronto, a aproximação numérica bate com . A integração adaptativa garantiu a precisão exigida (pelo menos 7 casas decimais corretas).

Resposta

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