Use a integração adaptativa para verificar que , com pelo menos 7 casas decimais corretas.
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra usar um método de “integração adaptativa” (que é um jeito inteligente de calcular integrais numéricas) pra verificar que
A matéria aqui é “métodos numéricos de integração”, em particular o método de Simpson adaptativo. Pra resolver, você vai precisar entender:
O que é a regra de Simpson básica;
Como estimar o erro e dividir o intervalo de forma adaptativa;
Como usar isso pra chegar a uma aproximação com pelo menos 7 casas decimais corretas.
Passo 2
Antes de “botar a mão na massa”, vamos revisar a regra de Simpson simples.
Se a gente quer aproximar , a regra de Simpson diz:
Isso equivale a aproximar por um polinômio de segundo grau que passa pelos pontos , e . Aí a gente calcula a área sob esse polinômio em vez da função real.
Passo 3
O truque da integração adaptativa é: a gente calcula , depois calcula e (com ). Se
onde é a tolerância desejada (por exemplo ), então a gente aceita
Caso contrário, a gente “quebra” o intervalo ainda mais: aplica recursivamente a mesma ideia em e .
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa função
Escolhemos f(x) = 1sen^2x + tfrac14cos^2x .
Começamos com I approx 3.141592653589793, , .
Calculamos , depois e .
Verificamos o erro aproximado .
Se for maior que , dividimos de novo; senão, aceitamos a correção.
Continuamos recursivamente até todo pedaço cumprir a tolerância.
Fazendo isso (em código ou na mão com alguma ajuda computacional), a gente chega a uma aproximação
com erro menor que .
Passo 5
Pronto, a aproximação numérica bate com . A integração adaptativa garantiu a precisão exigida (pelo menos 7 casas decimais corretas).