Calcule kappa2(A) se
A=\left( rr2 & 2 2 & -1\right)

Passo 1

Beleza, o problema pede para calcular o número de condição na norma 2 de
A=2 & 2[6pt]2 & -1
Isso entra no assunto de matrizes, normas (especialmente a norma 2) e número de condição. Para resolver, a gente vai precisar de:
  1. Encontrar os autovalores de kappa2(A)=|A|2,|A^-1|2 (usando ).
  2. Lembrar que, para matrizes reais simétricas, a norma 2 é o maior valor singular, que coincide com o maior valor absoluto dos autovalores.
  3. Usar a definição

Passo 2

Vamos achar os autovalores det(A-lambda I) =det!2-lambda & 2[4pt]2 & -1-lambda =(2-lambda)(-1-lambda)-2cdot2 de (2-lambda)(-1-lambda)= -2 -2lambda +lambda +lambda^2 = lambda^2 -lambda -2 . A gente monta o determinante
lambda^2 -lambda -2 -4 = lambda^2 -lambda -6
Agora expandindo:
lambda^2 -lambda -6 = 0
e aí subtrai os , ficando
Então a equação característica é

Passo 3

Resolvendo a quadrática
lambda^2 -lambda -6 = 0 Longrightarrow lambda = 1pmraiz(-1)^2-4cdot1cdot(-6)2 = 1pmraiz1+242 = 1pm52
Logo os dois autovalores são
lambda1 = 1+52=3, lambda2 = 1-52=-2

Passo 4

Como |A|2 = maxi|lambdai| = max,|3|,|-2| = 3, é simétrica real, a norma 2 é
|A^-1|2 = 1mini|lambdai| = 12
e a norma 2 de kappa2(A)=|A|2,|A^-1|2 =3cdot12=32 vale
Portanto o número de condição é

Resposta

boxedkappa2(A)=32

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