Suponha que A é invertível.
(a) Mostre que 0 não é autovalor de A.
(b) Mostre que se lambda é autovalor de A e v neq 0 autovetor de A associado a lambda, então 1 / lambda é autovalor de A^-1 e v é autovetor de A^-1 associado a 1 / lambda.

Passo 1

Resumo da questão: a matriz é invertível.
Conteúdo: autovalores e autovetores, definição de matriz invertível e núcleo (kernel).
O que vamos usar:
  • Definição de autovalor/autovetor: com .
  • Propriedade de matrizes invertíveis: só têm solução trivial .
  • Relação entre e .

Passo 2

(a) Queremos mostrar que 0 não pode ser autovalor de A v = 0cdot v = 0 .
Suponha, para chegar a um absurdo, que 0 é autovalor. Aí existe tal que
Mas como é invertível, sua única solução para é . Isso obriga , contradizendo . Logo, 0 não é autovalor.

Passo 3

(b) Agora seja A v = lambda v autovalor de A^-1(Av) = A^-1(lambda v) Longrightarrow v = lambda,A^-1v Longrightarrow A^-1v = 1lambda ,v com autovetor , ou seja
Como vimos em (a), . Vamos aplicar dos dois lados:
Isso mostra que é autovetor de .

Resposta

(a) 0 não é autovalor de .
(b) Se com , então , ou seja, é autovalor de com o mesmo autovetor .

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