Suponha que
é invertível.
(a) Mostre que 0 não é autovalor de
.
(b) Mostre que se
é autovalor de
e
autovetor de
associado a
, então
é autovalor de
e
é autovetor de
associado a
.
(a) Mostre que 0 não é autovalor de
(b) Mostre que se
Passo 1
Resumo da questão: a matriz
é invertível.
Conteúdo: autovalores e autovetores, definição de matriz invertível e núcleo (kernel).
O que vamos usar:
Conteúdo: autovalores e autovetores, definição de matriz invertível e núcleo (kernel).
O que vamos usar:
- Definição de autovalor/autovetor:
com . - Propriedade de matrizes invertíveis: só têm solução trivial
. - Relação entre
e .
Passo 2
(a) Queremos mostrar que 0 não pode ser autovalor de
.
Suponha, para chegar a um absurdo, que 0 é autovalor. Aí existe tal que
Suponha, para chegar a um absurdo, que 0 é autovalor. Aí existe
Mas como
é invertível, sua única solução para
é
. Isso obriga
, contradizendo
. Logo, 0 não é autovalor.
Passo 3
(b) Agora seja
autovalor de
com autovetor
, ou seja
Como vimos em (a),
. Vamos aplicar
dos dois lados:
Isso mostra que
é autovetor de .
Resposta
(a) 0 não é autovalor de
.
(b) Se com
, então
, ou seja,
é autovalor de
com o mesmo autovetor
.
(b) Se