(Extra 1.0pt) Exprima
como uma união infinita de subconjuntos infinitos, dois a dois disjuntos.
Passo 1
O enunciado pede para particionar o conjunto dos naturais
como
como
de modo que cada
seja infinito e, para
,
. Vamos usar a ideia de
-adic valuation, ou seja, classificar cada inteiro pelo maior expoente de
que o divide.
Passo 2
Definimos para todo
:
onde
é o maior inteiro
tal que
divide
. Em outras palavras,
Passo 3
Mostramos que as
são dois a dois disjuntas. Se um mesmo
estivesse em
e em
com
, teríamos simultaneamente
e
, o que é impossível. Logo,
Passo 4
Mostramos que a união de todas as
é
. De fato, todo
tem exatamente um valor de
para algum
, e aí cabe em
. Logo
Passo 5
Finalmente, cada
é infinito, pois para
fixo os elementos
são todos distintos e pertencem a
.
Resposta
onde cada conjunto
é infinito e os conjuntos são disjuntos.