(Extra 1.0pt) Exprima \mathbb{N}=\mathbb{N}_{1} \cup \mathbb{N}_{2} \cup \mathbb{N}_{3} \cup \mathbb{N}_{4} \cup \mathbb{N}_{5} \cup \ldots como uma união infinita de subconjuntos infinitos, dois a dois disjuntos.

Passo 1

O enunciado pede para particionar o conjunto dos naturais
\mathbb{N}
como
\mathbb{N} = \mathbb{N}_{1}\cup \mathbb{N}_{2}\cup \mathbb{N}_{3}\cup \cdots
de modo que cada \mathbb{N}_i seja infinito e, para i\neq j, \mathbb{N}_i\cap\mathbb{N}_j=\varnothing. Vamos usar a ideia de 2-adic valuation, ou seja, classificar cada inteiro pelo maior expoente de 2 que o divide.

Passo 2

Definimos para todo i\ge1:
\mathbb{N}_i = \bigl\{\,n\in\mathbb{N}\mid v_2(n)=i-1\bigr\},
onde v_2(n) é o maior inteiro k tal que 2^k divide n. Em outras palavras,
\mathbb{N}_i = \bigl\{\,2^{\,i-1}(2k-1)\mid k\in\mathbb{N}\bigr\}.

Passo 3

Mostramos que as \mathbb{N}_i são dois a dois disjuntas. Se um mesmo n estivesse em \mathbb{N}_i e em \mathbb{N}_j com i\neq j, teríamos simultaneamente v_2(n)=i-1 e v_2(n)=j-1, o que é impossível. Logo,
\mathbb{N}_i\cap\mathbb{N}_j=\varnothing \quad\text{para }i\neq j.

Passo 4

Mostramos que a união de todas as \mathbb{N}_i é \mathbb{N}. De fato, todo n\in\mathbb{N} tem exatamente um valor de v_2(n)=k para algum k\ge0, e aí cabe em \mathbb{N}_{k+1}. Logo
\bigcup_{i=1}^{\infty}\mathbb{N}_i =\mathbb{N}.

Passo 5

Finalmente, cada \mathbb{N}_i é infinito, pois para i fixo os elementos
2^{\,i-1}(1),\;2^{\,i-1}(3),\;2^{\,i-1}(5),\;\dots
são todos distintos e pertencem a \mathbb{N}_i.

Resposta

\boxed{ \mathbb{N} = \bigcup_{i=1}^{\infty} \bigl\{\,2^{\,i-1}(2k-1)\mid k\in\mathbb{N}\bigr\}, }
onde cada conjunto \{2^{i-1}(2k-1)\mid k\in\mathbb{N}\} é infinito e os conjuntos são disjuntos.

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