05.5. (2.0pt) Suponha que a série
seja convergente. Demonstre, usando o critério de comparação, que a série
também é convergente.
Passo 1
O enunciado nos diz que a série
é convergente, e pede para mostrar, usando o critério de comparação, que
também converge. Vamos usar o Teste da Comparação Direta, que afirma: se
para todo
suficientemente grande e
converge, então
converge.
Passo 2
Para aplicar o teste, precisamos exibir uma desigualdade do tipo
para
grande (ou para todo
). Note que, para
, temos
Como a função
é decrescente em
, isso implica
Logo, para todo
,
Passo 3
Como por hipótese a série
converge e
para todo
, o Teste da Comparação Direta garante que
é convergente.
Resposta
A série
converge por comparação direta com
.