05.5. (2.0pt) Suponha que a série \sum \frac{2}{n(n+1)} seja convergente. Demonstre, usando o critério de comparação, que a série \sum \frac{1}{n^{2}} também é convergente.

Passo 1

O enunciado nos diz que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+1)}
é convergente, e pede para mostrar, usando o critério de comparação, que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
também converge. Vamos usar o Teste da Comparação Direta, que afirma: se 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n converge.

Passo 2

Para aplicar o teste, precisamos exibir uma desigualdade do tipo
0 \;\le\;\frac{1}{n^{2}}\;\le\;\frac{2}{n(n+1)}
para n grande (ou para todo n\ge1). Note que, para n\ge1, temos
n(n+1)=n^2+n\le n^2+n^2=2n^2.
Como a função x\mapsto1/x é decrescente em x>0, isso implica
\frac{1}{n(n+1)}\ge\frac{1}{2n^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{n(n+1)}\ge\frac{1}{n^2}.
Logo, para todo n\ge1,
0\le\frac{1}{n^2}\le\frac{2}{n(n+1)}.

Passo 3

Como por hipótese a série \sum \tfrac{2}{n(n+1)} converge e \tfrac{1}{n^2}\le\tfrac{2}{n(n+1)} para todo n, o Teste da Comparação Direta garante que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}
é convergente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge por comparação direta com \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+1)}.

Exercícios relacionados