Calcule os limites abaixo.
lim h 0 (x+h)^2-x^2h

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular
limh to 0 (x + h)^2 - x^2h
Isso é um probleminha de limite que, na prática, mostra como a derivada de aparece pelo “jeito formal” de limite.
O que a gente vai precisar:
  • Saber expandir binômio .
  • Saber fatorar e simplificar expressões algébricas.
  • Entender a propriedade básica de limite que permite cancelar um e depois substituir .

Passo 2

Primeiro, bora expandir (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 . A gente lembra da fórmula do quadrado da soma:
(x+h)^2 - x^2 = l(x^2 + 2xh + h^2r) - x^2
Então o numerador fica

Passo 3

Agora subtrai (x^2 + 2xh + h^2) - x^2 = 2xh + h^2 de (x+h)^2 - x^2h = 2xh + h^2h :
Logo nossa fração original vira

Passo 4

Percebe que no numerador tem um fator comum 2xh + h^2 = h,(2x + h) . A gente fatora:
2xh + h^2h = h,(2x + h)h = 2x + h,
Então
desde que , o que tá tudo bem porque estamos olhando o limite quando se aproxima de zero, mas não exatamente igual a zero.

Passo 5

Agora vem a mágica do limite: se a expressão simplificada é limh to 0 l(2x + hr) = 2x + 0 = 2x , então
É só substituir na parte que restou.

Resposta

boxed2x

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