Calcule os limites:
lim x 1 x^5-11-x^3

Passo 1

Enunciado resumido: Calcular o limite
limx to 1 x^5 - 11 - x^3
Conteúdo da matéria: cálculo de limites de funções racionais e fatoração de diferença de potências.
O que vamos precisar:
  1. Identificar que a substituição direta dá uma forma indeterminada .
  2. Usar a fórmula de fatoração para simplificar.

Passo 2

Primeiro, tenta substituir 1^5 - 11 - 1^3 = 00, direto:
que é uma forma indeterminada. Quando isso acontece, não dá pra concluir o valor do limite, então precisamos manipular a expressão até sair essa indeterminação.

Passo 3

Vamos fatorar numerador e denominador usando diferença de potências:
  • Para x^5 - 1 = (x - 1)l(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1r) , tomamos x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) Longrightarrow 1 - x^3 = -(x - 1)(x^2 + x + 1) , , :
  • Para , percebemos que é , e usando a mesma ideia com :

Passo 4

Substituindo essas fatorações na expressão original, temos
x^5 - 11 - x^3 = (x - 1)l(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1r)-(x - 1)(x^2 + x + 1)
Agora dá pra cancelar o fator x^5 - 11 - x^3 = -,x^4 + x^3 + x^2 + x + 1x^2 + x + 1 (que é o causador do ):

Passo 5

Com a expressão já simplificada, podemos fazer a substituição -,1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 11^2 + 1 + 1 = -,1 + 1 + 1 + 1 + 11 + 1 + 1 = -,53 sem problema:

Resposta

limx to 1 x^5 - 11 - x^3 = -53

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