Determine:
a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=\frac{e^{5 x}}{x^{2}+1} no ponto correspondente a x=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=\frac{e^{5x}}{x^{2}+1}
no ponto onde x=0. Para isso, precisamos calcular o valor da função em 0, isto é f(0), e a derivada f'(x) para depois achar f'(0). A equação da reta tangente em x=0 é
y = f'(0)\,(x - 0) + f(0).

Passo 2

Calculemos f(0):
f(0)=\frac{e^{5\cdot 0}}{0^{2}+1}=\frac{e^{0}}{1}=1.

Passo 3

Agora encontramos f'(x) usando regra do quociente. Se
u(x)=e^{5x},\quad v(x)=x^{2}+1,
então
u'(x)=5e^{5x},\quad v'(x)=2x,
e
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{5e^{5x}(x^{2}+1)-e^{5x}\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Fatorando e^{5x} no numerador:
f'(x) =\frac{e^{5x}\bigl(5(x^{2}+1)-2x\bigr)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{e^{5x}(5x^{2}-2x+5)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Avalie f'(0):
f'(0) =\frac{e^{0}(5\cdot0^{2}-2\cdot0+5)}{(0^{2}+1)^{2}} =\frac{1\cdot5}{1} =5.

Passo 5

Com f(0)=1 e f'(0)=5, a reta tangente em x=0 é
y = 5x + 1.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 5x + 1.

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