Calcule o máximo divisor comum, utilizando o algoritmo da divisão, dos seguintes números:
2001 e 415.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente achar o máximo divisor comum (MDC) de 2001 e 415 usando o algoritmo da divisão (ou algoritmo de Euclides). Ou seja, vamos repetir divisões sucessivas, guardando quociente e resto, até o resto virar zero. O último resto não-nulo é o MDC.

Passo 2

Primeira aplicação da divisão euclidiana: dividimos 2001 por 415.
Pela definição, existe um quociente q e um resto r tais que
2001 = 415 cdot q + r, 0 <= r < 415
Fazendo a conta, q = 4 e r = 2001 - 415 cdot 4 = 341.
Então:
2001 = 415 cdot 4 + 341

Passo 3

Agora repetimos com 415 (dividendo) e 341 (divisor):
415 = 341 cdot q + r, 0 <= r < 341
Aqui q = 1 e r = 415 - 341cdot1 = 74.
Logo:
415 = 341 cdot 1 + 74

Passo 4

Continuamos com 341 e 74:
341 = 74 cdot q + r, 0 <= r < 74
Calculando, q = 4 e r = 341 - 74cdot4 = 45.
Então:
341 = 74 cdot 4 + 45

Passo 5

Próxima: 74 dividido por 45:
74 = 45 cdot q + r, 0 <= r < 45
Aqui q = 1 e r = 74 - 45cdot1 = 29.
Logo:
74 = 45 cdot 1 + 29

Passo 6

Seguimos com 45 e 29:
45 = 29 cdot q + r, 0 <= r < 29
q = 1 e r = 45 - 29cdot1 = 16.
Então:
45 = 29 cdot 1 + 16

Passo 7

Agora 29 dividido por 16:
29 = 16 cdot q + r, 0 <= r < 16
Temos q = 1 e r = 29 - 16cdot1 = 13.
Logo:
29 = 16 cdot 1 + 13

Passo 8

Continuando com 16 e 13:
16 = 13 cdot q + r, 0 <= r < 13
Aqui q = 1 e r = 16 - 13cdot1 = 3.
Então:
16 = 13 cdot 1 + 3

Passo 9

Dividimos 13 por 3:
13 = 3 cdot q + r, 0 <= r < 3
q = 4 e r = 13 - 3cdot4 = 1.
Logo:
13 = 3 cdot 4 + 1

Passo 10

Agora 3 dividido por 1:
3 = 1 cdot q + r, 0 <= r < 1
Aqui q = 3 e r = 3 - 1cdot3 = 0.
Quando o resto vira zero, parámos. O último resto não-zero foi 1.

Resposta

O máximo divisor comum de 2001 e 415 é 1.

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