Sejam
de modo que
. Mostre que
ou 7 .
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte: temos dois inteiros
tais que
, ou seja, eles são primos entre si. A tarefa é mostrar que
só pode dar
ou
.
Conteúdo envolvido: propriedades de máximo divisor comum (gcd), principalmente que “se um número divide dois números, então ele divide qualquer combinação linear deles”. Também vamos usar que
implica
.
Conteúdo envolvido: propriedades de máximo divisor comum (gcd), principalmente que “se um número
Passo 2
Denota
Por definição,
divide ambos os números:
Como
divide os dois, ele também divide qualquer combinação linear:
- Se eu faço
, isso dá Logo . - Se eu faço
, dá Logo .
Passo 3
Então resumindo:
Isso implica
divide
. Mas como
, temos
Logo
só pode ser um divisor de
, ou seja,
.