Sejam a, b in Z de modo que (a, b)=1. Mostre que (2 a+b, a-3 b)=1 ou 7 .

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: temos dois inteiros gcd(2a+b,;a-3b) tais que , ou seja, eles são primos entre si. A tarefa é mostrar que
só pode dar ou .
Conteúdo envolvido: propriedades de máximo divisor comum (gcd), principalmente que “se um número divide dois números, então ele divide qualquer combinação linear deles”. Também vamos usar que implica .

Passo 2

Denota
d = gcd(2a+b,;a-3b)
Por definição, (2a+b)-2(a-3b)=2a+b-2a+6b=7b divide ambos os números:
  1. 3(2a+b)+(a-3b)=6a+3b+a-3b=7a
Como divide os dois, ele também divide qualquer combinação linear:
  • Se eu faço , isso dá Logo .
  • Se eu faço , dá Logo .

Passo 3

Então resumindo:
dmid 7a e dmid 7b
Isso implica gcd(7a,7b)=7cdotgcd(a,b)=7cdot1=7 divide . Mas como , temos
Logo só pode ser um divisor de , ou seja, .

Resposta

gcd(2a+b,;a-3b)=1ou7

Exercícios relacionados