Calcule pelo menos uma raiz real da equação abaixo, com epsilon <= 10^-2, usando o método da Bisseção. Para tanto, determine antes um intervalo de convergência para a raiz [a, b] que obedeça aos critérios do teorema de Bolzano.
f(x)=x^3-6 x^2-x+30=0

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra encontrar pelo menos uma raíz real da função
f(x)=x^3-6x^2-x+30=0
com precisão , usando o método da bisseção.
Conteúdo envolvido:
- Teorema de Bolzano (garante que, se e tiverem sinais opostos, existe raiz em ).
- Método da bisseção (dividir o intervalo ao meio sistematicamente até atingir a precisão desejada).
O que vamos precisar:
1. Escolher um intervalo tal que .
2. Aplicar a bisseção: calcular , avaliar , decidir em qual metade a raiz está, e repetir até ou até .

Passo 2

Primeiro, determinamos um intervalo que obedeça ao teorema de Bolzano. Vamos testar, por exemplo,
  • f(4)=4^3-6cdot4^2-4+30 =64-96-4+30 = -6;<0: f(6)=6^3-6cdot6^2-6+30 =216-216-6+30 = 24;>0
  • :
Como , existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Agora, seguimos o método da bisseção:
  1. Calcular o ponto médio c=a+b2
  2. Avaliar .
  3. Se , achamos a raiz exata e paramos.
    Se , a raiz está em ; então fazemos .
    Caso contrário, está em ; fazemos .
  4. Repetir até .

Passo 4

Aplicando a primeira iteração em f(5)=5^3-6cdot5^2-5+30=125-150-5+30=0:
  • .
  • Avaliando
Achei ! Isso significa que é raiz exata. A precisão é perfeita ( ), então já podemos parar.

Resposta

Uma raiz real encontrada é
.

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