Usando a segunda regra composta de Simpson (h=1), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=integral1^7(x^2+4 x+17) d x

Passo 1

Beleza, aqui o lance é aproximar a integral
I = integral1^7 l(x^2 + 4x + 17r),dx
usando a regra composta de Simpson com passo , comparar com o valor exato e achar o erro.
Conteúdo:
  • Regra composta de Simpson (método numérico)
  • Cálculo exato de integral de polinômio
  • Estimativa de erro
Vamos precisar de:
  1. Valores de nos nós .
  2. Fórmula composta de Simpson.
  3. Antiderivada de .

Passo 2

Primeiro, pegamos o intervalo n = 7 - 1h = 61 = 6 e dividimos em
x0 = 1,; x1 = 2,; x2 = 3,; x3 = 4,; x4 = 5,; x5 = 6,; x6 = 7
subintervalos, então os nós são
f(1)&=1+4+17=22, f(2)&=4+8+17=29, f(3)&=9+12+17=38, f(4)&=16+16+17=49, f(5)&=25+20+17=62, f(6)&=36+24+17=77, f(7)&=49+28+17=94
Calcula integrala^b f(x),dx approx h3l[f(x0)+f(xn) +4sumsubstacki=1i ímpar^n-1f(xi) +2sumsubstacki=2i par^n-2f(xi)r] em cada um:
Somatório ímpares: &f(x1)+f(x3)+f(x5)=29+49+77=155, Somatório pares: &f(x2)+f(x4)+f(x5)=38+62=100
A regra composta de Simpson diz:
ISimpson = 13l[,f(1)+f(7)+4cdot155+2cdot100,r] = 13l[22+94+620+200r] = 9363 =312 í
Aqui , então
óíó
Logo,

Passo 3

Agora a integral exata. Primeiro achamos a antiderivada:
integral (x^2+4x+17),dx = x^33 + 2x^2 + 17x + C
Iexata = [x^33 + 2x^2 + 17x]1^7 = l(tfrac7^33+2cdot7^2+17cdot7r) - l(tfrac1^33+2cdot1^2+17cdot1r)
Calcule:
F(7)&=3433+98+119=3433+217, F(1)&=13+2+17=13+19,
Iexata = l(tfrac3433+217r) - l(tfrac13+19r) = 3423 + 198 =114 + 198 =312

Passo 4

O erro fica
Erro = ISimpson - Iexata = 312 - 312 = 0
Na real, a regra de Simpson é exata para polinômios de grau até 3, e nosso integrando é grau 2, então não há erro numérico.

Resposta

I aproximada (Simpson) = 312
I exata = 312
Erro = 0

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