Calcule pelo menos uma raiz real da equação abaixo, com , usando o método da Bisseção. Para tanto, determine antes um intervalo de convergência para a raiz [a, b] que obedeça aos critérios do teorema de Bolzano.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar, via Método da Bisseção, pelo menos uma raiz real de
com precisão .
Conteúdo: Método Numérico (Bisseção) e Teorema de Bolzano.
O que vamos precisar:
Bolzano – encontrar um intervalo tal que .
Bisseção – dividir esse intervalo sucessivamente até atingir .
Passo 2
Primeiro, a gente aplica o Teorema de Bolzano. Ele diz que, se f(-2) = -2 + 2cos(-2)approx -2 + 2,( -0.4161 ) = -2.8322 < 0 e f(0) = 0 + 2cos(0) = 2 > 0 tiverem sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em f(-1) = -1 + 2cos(-1)approx -1 + 2,(0.5403) = 0.0806 > 0 .
Vamos testar alguns pontos:
[a0,b0]=[-2,,-1]
Como e , temos mudança de sinal em .
Para estreitar, também vemos:
Logo, em temos e . Então escolhemos o intervalo inicial
Passo 3
Agora entra o Método da Bisseção. A ideia é:
Calcula o ponto médio .
Avalia .
Se tiver o mesmo sinal de , trocamos ; caso contrário, trocamos .
Repete até .
A cada iteração, a largura do intervalo cai pela metade.
Passo 4
Vamos fazer as iterações até a=-2, b=-1Longrightarrow c=-1.5 .
Iteração 1:
f(c)=-1.5+2cos(-1.5)approx -1.3585<0
[a1,b1]=[c,b]=[-1.5,,-1], b1-a1=0.5
Sinal de c=-1.25, f(c)approx -0.6200<0 é igual a [a2,b2]=[-1.25,,-1], b2-a2=0.25 , então:
c=-1.125, f(c)approx -0.2520<0
Iteração 2:
[a3,b3]=[-1.125,,-1], b3-a3=0.125
c=-1.0625, f(c)approx -0.0925<0
Iteração 3:
[a4,b4]=[-1.0625,,-1], b4-a4=0.0625
c=-1.03125, f(c)approx -0.0021<0
Iteração 4:
[a5,b5]=[-1.03125,,-1], b5-a5=0.03125
c=-1.015625, f(c)approx +0.0442>0
Iteração 5:
[a6,b6]=[-1.03125,,-1.015625], b6-a6=0.015625
c=-1.0234375, f(c)approx +0.0214>0
Iteração 6:
[a7,b7]=[-1.03125,,-1.0234375], b7-a7=0.0078125
Iteração 7:
Agora , ou seja, já atingimos a precisão desejada.
Resposta
Podemos tomar como aproximação da raiz o ponto médio do último intervalo:
x^* = -1.03125 + (-1.0234375)2 = -1.02734375
Logo, uma raiz real de boxedxapprox -1.0273 com é aproximadamente