Calcule pelo menos uma raiz real da equação abaixo, com
, usando o método da Bisseção. Para tanto, determine antes um intervalo de convergência para a raiz [a, b] que obedeça aos critérios do teorema de Bolzano.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra achar pelo menos uma raiz real da função
com precisão
- A gente precisa primeiro achar um intervalo
- Depois aplica o método da bisseção até que o erro (metade do tamanho do intervalo) fique abaixo de
Passo 2
Teorema de Bolzano diz: se
é contínua em
e
, então existe pelo menos uma raiz em
.
Vamos testar alguns valores:
Vamos testar alguns valores:
-
-
Como, temos um intervalo inicial válido:
.
Passo 3
O método da bisseção funciona assim:
- Calcular o ponto médio
. - Verificar o sinal de
. - Substituir o intervalo por aquele que troca de sinal (ou seja, onde
ou ). - Repetir até que
.
Isso garante que o erro máximo na raiz é
.
Passo 4
Vamos iterar com
:
i=1:
,
Troca-se , ficando
.
Troca-se
i=2:
,
Fica .
Fica
i=3:
,
Fica .
Fica
i=4:
,
Fica .
Fica
i=5:
,
Fica .
Fica
i=6:
,
Fica .
Fica
i=7:
,
Fica .
Fica
i=8:
,
Fica .
Fica
Agora o intervalo tem comprimento
, logo
.
Passo 5
Como
, a gente para. A raiz aproximada pode ser o ponto médio final:
Resposta
Uma raiz aproximada de
, com erro menor que
, é
.