Calcule pelo menos uma raiz real da equação abaixo, com epsilon <= 10^-2, usando o método da Bisseção. Para tanto, determine antes um intervalo de convergência para a raiz [a, b] que obedeça aos critérios do teorema de Bolzano.
f(x)=3 x-cos x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra achar pelo menos uma raiz real da função
f(x)=3x-cos x=0
com precisão , usando o método da Bisseção. Isso é parte de Métodos Numéricos, mais especificamente:
- A gente precisa primeiro achar um intervalo onde a função mude de sinal (teorema de Bolzano).
- Depois aplica o método da bisseção até que o erro (metade do tamanho do intervalo) fique abaixo de .

Passo 2

Teorema de Bolzano diz: se é contínua em e , então existe pelo menos uma raiz em .
Vamos testar alguns valores:

  • Como , temos um intervalo inicial válido:
    .

Passo 3

O método da bisseção funciona assim:
  1. Calcular o ponto médio .
  2. Verificar o sinal de .
  3. Substituir o intervalo por aquele que troca de sinal (ou seja, onde ou ).
  4. Repetir até que .
Isso garante que o erro máximo na raiz é .

Passo 4

Vamos iterar com :
i=1:

,

Troca-se , ficando .
i=2:

,

Fica .
i=3:

,

Fica .
i=4:

,

Fica .
i=5:

,

Fica .
i=6:

,

Fica .
i=7:

,

Fica .
i=8:

,

Fica .
Agora o intervalo tem comprimento , logo .

Passo 5

Como x^* approx m9=0,31640625+0,32031252=0,318359375, , a gente para. A raiz aproximada pode ser o ponto médio final:

Resposta

Uma raiz aproximada de , com erro menor que , é
.

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