Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com epsilon <= 10^-3, usando o método da Iteração Linear. Para tanto, determine antes as equações de iteração linear, assim como uma primeira aproximação da raiz x0.
f(x)=x^3-cos x=0

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente encontrar UMA raiz real da equação
f(x) = x^3 - cos x = 0
usando o método da Iteração Linear (também chamado de método do ponto fixo).
O que a gente vai precisar:
  1. Transformar numa forma .
  2. Escolher um chute inicial .
  3. Iterar até a diferença ficar abaixo de .

Passo 2

Primeiro nosso x^3 = cos x Longrightarrow x = l(cos xr)^1/3 vira
g(x) = (cos x)^1/3
Então definimos
f(0) = -1, f(1) = 1 - cos(1)approx 0.46,
Por que isso funciona? No método do ponto fixo a gente precisa de um x0 = 0.7 tal que as iterações convirjam. Uma condição típica é num intervalo que contenha a raiz. Dá pra checar que, em torno de , fica bem abaixo de 1, então estamos tranquilos.
Agora precisamos de um chute inicial . Como
sabemos que há uma raiz entre 0 e 1. Vamos começar com

Passo 3

A regra de iteração é
xn+1 = g(xn) = l(cos xnr)^1/3
A cada passo calculamos lvert x7 - x6rvert = lvert 0.866 - 0.865rvert = 0.001 <= 10^-3, e vemos se
.
Vamos lá:
n xₙ cos(xₙ) xₙ₊₁ = (cos xₙ)^{1/3} xₙ₊₁ − xₙ
0 0.700 0.7648 0.916
1 0.916 0.6091 0.846 0.070
2 0.846 0.6622 0.873 0.027
3 0.873 0.6423 0.861 0.012
4 0.861 0.6526 0.867 0.006
5 0.867 0.6476 0.865 0.002
6 0.865 0.6496 0.866 0.001
No passo 6 já temos
então podemos parar.

Resposta

Uma aproximação da raiz real de boxedx approx 0.865 pelo método da Iteração Linear, com , é

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