Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com
, usando o método da Iteração Linear. Para tanto, determine antes as equações de iteração linear, assim como uma primeira aproximação da raiz
.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra gente encontrar UMA raiz real da equação
usando o método da Iteração Linear (também chamado de método do ponto fixo).
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- Transformar
numa forma . - Escolher um chute inicial
. - Iterar
até a diferença ficar abaixo de .
Passo 2
Primeiro nosso
vira
Então definimos
Por que isso funciona? No método do ponto fixo a gente precisa de um
tal que as iterações convirjam. Uma condição típica é
num intervalo que contenha a raiz. Dá pra checar que, em torno de
,
fica bem abaixo de 1, então estamos tranquilos.
Agora precisamos de um chute inicial
. Como
sabemos que há uma raiz entre 0 e 1. Vamos começar com
Passo 3
A regra de iteração é
A cada passo calculamos
e vemos se
.
Vamos lá:
n | xₙ | cos(xₙ) | xₙ₊₁ = (cos xₙ)^{1/3} | xₙ₊₁ − xₙ | |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0.700 | 0.7648 | 0.916 | — | |
1 | 0.916 | 0.6091 | 0.846 | 0.070 | |
2 | 0.846 | 0.6622 | 0.873 | 0.027 | |
3 | 0.873 | 0.6423 | 0.861 | 0.012 | |
4 | 0.861 | 0.6526 | 0.867 | 0.006 | |
5 | 0.867 | 0.6476 | 0.865 | 0.002 | |
6 | 0.865 | 0.6496 | 0.866 | 0.001 |
No passo 6 já temos
então podemos parar.
Resposta
Uma aproximação da raiz real de
pelo método da Iteração Linear, com
, é